单叶解析函数的几个子族之间的关系及应用

鲁三芽, 龙 芳

(1.南昌工程学院理学系,江西南昌 330029; 2.江西机电职业技术学院基础部,江西南昌 330013)

单叶解析函数的几个子族之间的关系及应用

鲁三芽1, 龙 芳2

(1.南昌工程学院理学系,江西南昌 330029; 2.江西机电职业技术学院基础部,江西南昌 330013)

在复平面单位圆盘内引入了β型螺形函数族^Sβ的一个子类^Sβα函数族,研究了^Sβα族与解析函数族S＊,S＊(α),K,K(α)及^Sβ之间的关系,利用得到的关系式对^Sβα族的第二项系数进行了精确估计,同时得到了K(α)族的第二、三项系数的关系式和^Sβ族的一个积分表示式,推广了一些作者的结果.

星形函数;凸函数;β型螺形函数;^Sβα函数族;系数估计

1 定义及记号

Robertson在文[1]中引入S＊的一个子族α次星形函数.

定义1 设α∈[0,1).若f∈S且满足

则称f为α次星形函数.记其族为S＊(α).

Spacek在文[2]中对星形函数族S＊进行了推广,得到了β型螺形函数族^Sβ,并给出了定义在D上的^Sβ函数族的一个解析刻画.

显然,当β=0时,f∈S＊(α);当α=0时,f∈^Sβ;当α=β=0时,f∈S＊.

2 引理及说明

为证明本文的主要结果,需要以下引理.

引理1[3]设α∈[0,1),f∈S,z∈D,则下列结论成立：

注 引理1给出了S＊(α)与S＊,K(α)和S＊之间的关系.

引理2 设α∈[0,1),f∈S,z∈D,则下列结论成立：

(i)[3-4]f(z)∈K当且仅当存在g(z)∈S＊,使g(z)=zf′(z);

(ii)[3]f∈K(α)当且仅当存在h(z)∈S＊(α),使h(z)=zf′(z).

注 引理2给出了K与S＊,K(α)与S＊(α)之间的关系,是Alexander定理及其推广.

3 主要结果及其证明

定理1,定理2和定理3给出的是一些等价关系,在实际中具有很好的应用.限于篇幅,本文只举证了几个应用.

(i)f(z)∈S＊(α)当且仅当存在g(z)∈K,使f(z)=z[g′(z)]1-α,其中幂函数取满足[g′(z)]1-α|z=0=1的解析分支;

(ii)f(z)∈S＊(α)当且仅当存在h(z))∈^Sβ,使

证(i)由引理1(i)和引理2(i)可得证.

(ii)由引理1(i)和引理4可得证.

注 定理1沟通了S＊(α),K和^Sβ之间的等价关系.

(i)f(z)∈K(α)当且仅当存在g(z)∈K,使f′(z)=[g′(z)]1-α,其中幂函数取满足[g′(z)]1-α|z=0=1的解析分支;

(iii)f(z)∈^Sβ当且仅当存在u(z)∈K,使f(z)=z[u′(z)]e-iβcosβ,其中幂函数取满足[u′(z)]e-iβcosβ|z=0=1的解析分支.

证(i)由引理1(ii)和引理2(i)可得证.

(ii)由引理1(ii)和引理4可得证.

(iii)由(i),(ii)可得证.

注 定理2给出了K,K(α)和^Sβ之间的等价关系.

(ii)由(i)和引理1(i)可得证.

(iii)由(i)和定理1(i)可得证.

(iv)由(i)和引理2(ii)可得证.

(v)由(i)和定理1(ii)可得证.

定理4 函数

注 定理6推广了文[6],[7]的相应结果.当α=0时,f∈K,定理6恰为引理6的结论.

[1] Robertson M S.On the theory of univalent functions[J].Ann.Math.,1936,37：374-408.

[2] Spacek L.Contribution a la theorie des fonctions univalentes[J].Casopis Pest Math.,1932,62：12-19(in Russia).

[3] Graham I,Kohr G.Geometric function theory in one and higher dimensions[M].New York：Marcel Dekker,2003：54-78.

[4] Pommerenke C H.Univalent functions[M].Gottingen：Vandenhoeck&Ruprecht,1975：39-41.

[5] Goodman A W.Univalent functions,Ⅰ-Ⅱ[M].Tampa Florida：Mariner Publ.Co.,1983：148-154.

[6] Nehari Z.The Schwarzian derivative and schlicht functions[J].Bull.Amer.Math.,1949,55：545-551.

[7] Koepf W.Convex functions and the Nehari univalence criterion[J].Ann.Acad.Sci.Fenn.,Ser.A I Math.,1983,8：349-355.

Applications of Relationships Among the Several Subclasses of Univalent Analysis Functions

L U S an-ya1, LON G Fang2
(1.Department of Science Faculty,Nanchang Institute of Technology,Nanchang 330099,China;
2.Basic Department of Jiangxi Vocational College of Mechanical and Electrical Technology,Nanchang 330013,China)

A subclass of spirallike functions of typeβdenoted by^Sβαis introduced in the unit disc of the complex plane. We investigate the relationships among the class of^Sβαand the analysis function classes：S＊,S＊(α),K,K(α)and^Sβ. With the relationship equations we get,we sharply estimate the second coefficient of^Sβα.In addition,we obtain the relative equation between the second and the third coefficient ofK(α)class and the integral representation of^Sβclass, which generlizes the related results of some authors.

starlike functions;convex functions;spirallike functions of typeβ;functions class of^Sβα;coefficient estimate

O174.52

A

1672-1454(2011)03-0087-06

2008-09-22

江西省自然科学基金项目(2007GZS0177);江西省教育厅科学技术研究项目(GJJ09149)