利用无几何模型求解 GPS三频模糊度的成功率分析＊

常志巧 刘 利 郭 睿 刘雁雨

(北京环球信息应用开发中心,北京 100094)

利用无几何模型求解 GPS三频模糊度的成功率分析＊

常志巧 刘 利 郭 睿 刘雁雨

(北京环球信息应用开发中心,北京 100094)

利用无几何模型求解 GPS模糊度实数解是不以基线分量为未知数的线性模型,码观测量几乎直接用于确定模糊度,即使在较短的观测时间内,也不会出现设计矩阵复共线性,对模糊度求解具有明显优势。利用 Kronecker乘积导出了利用无几何模型求解三频模糊度及其协方差矩阵的表达式,分析得到该协方差矩阵只与伪距噪声和相位噪声之间的结构以及采用的历元数相关,与接收机和卫星之间的几何构形无关;整数变换 Z矩阵只与伪距噪声和相位噪声之间的结构相关的有益结论。最后利用无几何模型分别计算了单频、双频、三频模糊度求解的成功率,得出对于双频和三频只需少数历元即可成功固定模糊度,特别对于三频观测,甚至单历元即可成功固定模糊度。

GPS;无几何模型;三频模糊度求解;模糊度降相关;成功率

1 引言

在相对定位中广泛应用有几何模型和无几何模型求解模糊度[1-4],前者可以用于求解位置参数和模糊度参数,但在将该模型用于求解模糊度参数时需要的观测时间较长,才能确保模糊度求解的成功率较高,原因在于若只观测一个历元,观测方程的个数小于未知数的个数,法方程秩亏,秩亏数为 3,增加一个或几个历元的观测可以使法方程满秩,但并没有使测站和卫星之间的几何构型发生明显的变化,这时的观测方程设计矩阵存在严重的复共线性,复共线性的存在直接导致当观测量或设计矩阵有微小扰动时会造成LS估计精度严重降低。无几何模型是一种线性模型,不以基线分量为未知量,只能用于求解模糊度,该模型中码观测几乎是直接用于确定整周模糊度[1],在单历元就有可能使法方程满秩,不会出现设计矩阵复共线性的关系。Teunissen[5]推导了双频无几何观测模型求解模糊度的协方差矩阵的表达式,得出了协方差矩阵与观测历元个数成反比,与伪距和相位观测噪声的结构相关、与卫星和测站的几何构型无关等结论。新一代卫星导航系统将具有或已有 3个频率的伪距相位观测量,因此研究三频无几何模型求解模糊度的协方差的表达式以及求解模糊度的成功率的大小是必要的,对于研究多长观测时间能够成功固定模糊度具有重要作用。

2 无几何模型求解模糊度的实数解及协方差矩阵

2.1 无几何模型求解模糊度

利用无几何模型求解模糊度,针对的是单颗卫星,单历元无几何模型可写为：

式(1)具有电离层延迟参数的模型称为电离层浮点模型 (ionosphere-float model),在短基线的情况下,认为无双差电离层残差的影响,式(1)可以改写为：

式 (2)称为电离层固定模型 (ionosphere-fixed model)。在观测多个历元的情况下,三频无几何模型可以写为：

其中,k为观测历元个数,L=(L(1)T,…,L(k)T)T(L(i)=(L1(i),L2(i),L3(i))T,即 i时刻 3个相位观测量),P=(P(1)T,…,P(k)T)T(P(i)=(P1(i), P2(i),P3(i))T,即 i时刻 3个伪距观测量),ρ=(ρ (1)T,…,ρ(k)T)T为 k个历元的个距离未知数,N =(N1,N2,N3)T为 3个模糊度未知数,ek=(1,…, 1)T,Ik=diag(1,…,1),Λ =diag(λ1,λ2,λ3)。E {·}为数学期望符号,⊗为 Kronecker乘积,其定义和性质参见文献[6]。

2.2 实数解及协方差矩阵的推导

其中：

当假设每个历元每个频率都具有相位和码观测量,且模糊度不随历元而改变时,该模型的多余观测量为 5k-3。对式 (4)应用最小二乘原则产生的法方程为：

其中：

因此式(6)可写为：

从式(11)可以看出,利用无几何模型求解出的模糊度的协方差矩阵,与卫星和测站的几何构形完全无关,只与相位和伪距观测量的精度以及历元数相关,若每颗卫星的伪距和相位观测精度一样,模糊度估计的精度也是一致的。式 (11)还可以推广到单频和双频的情况,若是单频,则令 d=0,相应的码噪声矩阵 CL和相位噪声矩阵 CP都是一维;若是双频,则令 d=[-1,1]T,相应的码噪声矩阵 CL和相位噪声矩阵 CP都是二维矩阵。

3 协方差矩阵特点及成功率

3.1 协方差矩阵特点

由于无几何模型是基于单个卫星对的情况,利用无几何模型解算模糊度与测站卫星之间的几何配置无关,只与参与计算的历元数目,以及伪距噪声和载波噪声的结构有关。设伪距噪声为 0.3 m,各个频率上的载波相位噪声都为 0.01周 (本文中相位噪声都采用该值)。

表1列出了利用式 (11)计算出的模糊度原始协方差矩阵,为了提高模糊度求解的精度、降低模糊度之间的相关性从而提高模糊度求解的成功率和搜索效率,对原始模糊度度进行降相关处理,降相关处理后的协方差矩阵以及降相关 Z矩阵分别列于表 1和表2。

观察表 1和表 2可以得出：

1)随着采用的历元数的增加,原始模糊度和降相关后模糊度的精度都有所提高,但模糊度之间的相关系数保持不变,协方差矩阵的条件数保持不变。

2)在同一历元,Z变换大大提高了原始模糊度的精度,降低了原始协方差矩阵的条件数和模糊度之间的相关系数。Z矩阵与接收机和卫星的几何构形无关,与所用历元数无关,只与伪距噪声和相位噪声的结构相关,可以事先在程序中设定,而无需每次都用降相关方法,可以节省机器时间。

表1 无几何模型模糊度协方差矩阵(单位:周2)Tab.1 The ambiquity warance matrix geometry free model(un it:cycle2)

表2 无几何模型模糊度降相关情况Tab.2 The ambiguity decorrelation representation of geometry free model

3.2 无几何模型求解模糊度的成功率

这种情况下,整数最小二乘的成功率可以直接计算：

式中,N为估计的整数模糊度,N为真实的整数模糊度。

图1显示了相应的成功率随着历元数增加的变化情况。对于码观测量的标准差为 0.15 m达到99.9%的成功率需要的历元数为 108,单历元固定模糊度的成功率为 24.9%;对于码观测量的标准差为 0.3 m时,达到 99.9%的成功率需要的历元数为431,单历元固定模糊度的成功率为 12.6%。

图1 单频无几何模型模糊度成功率Fig.1 The succes rate of ambiguity resolution for single frequency

假设模糊度的浮点解服从以模糊度的真值为均值的正态分布,模糊度求解的成功率只与浮点解的协方差矩阵和估计方法的零向量的归整域有关,与模糊度真值无关[7]。整数最小二乘具有最大的成功率,但没有成功率的解析表达式,其下界计算公式为：

P(aB=a)为 B ootstrapping方法的成功率,是条件最小二乘模糊度的缩写,是其中误差,的计算方法参见文献[8]。

对于采用双频数据的情况,例如L1、L2,这时模糊度变成 2维向量,不能直接计算成功率的表达式,其下界计算公式为：

图2 双频无几何模型模糊度成功率Fig.2 The success rate of ambiguity resolution for dual frequency

通过观察该公式可以看出,不同的模糊度参数化方法将导致成功率的不同,本文计算成功率采用利用LAMBDA方法降相关后的模糊度向量来计算。图 2显示了相应的成功率随历元数增加的变化情况。对于码观测量的标准差为 0.15 m时,达到99.9%的成功率需要的历元数为 2,单历元固定模糊度的成功率为99.4%,对于码观测量的标准差为0.3 m时,达到 99.9%的成功率需要的历元数为 4,单历元固定模糊度的成功率为 92.3%。

对于采用三频频数据的情况,不能直接计算成功率的表达式,其下界计算公式为：

图3显示了相应的成功率随历元数增加的变化情况。对于码观测量的标准差为 0.15 m时,达到99.9%的成功率需要的历元数为 1,对于码观测量的标准差为 0.3 m时,达到 99.9%的成功率需要的历元数为 2,单历元固定模糊度的成功率为99.45%。

图3 三频无几何模型模糊度成功率Fig.3 The success rate ambiguity resolution for triple frequency

观察图 1～3可以看出,在单频的情况下,无论采用低精度还是高精度的伪距成功固定模糊度所需的历元数都较多(假设 99.9%的成功率认为成功固定模糊度);在采用双频或三频的情况下,只需少数几个历元即可成功固定模糊度。在相同的历元个数下,随着采用频率数的增加,模糊度固定的成功率增加。

4 结论

在短基线情况下,假设双差后观测值不受电离层折射误差的影响,且假设每个历元都具有 3个频率的码和相位观测量,首先将多个历元的无几何方法求解模糊度的模型写成 Kronecker乘积形式,利用Kronecker乘积的特性和矩阵反演公式推导出了无几何模型求解模糊度的协方差矩阵表达式,通过对该表达式的分析以及对协方差矩阵的降相关分解得出该协方差矩阵与卫星和测站之间的几何构型无关,模糊度的精度随着历元个数的增加而得到提高,但模糊度之间的相关系数以及整数变换 Z矩阵不变等有益结论。采用一定的伪距和相位噪声配置,得出了单频、双频、三频模糊度求解的成功率,频率越多,模糊度求解的成功率越高,在双频和三频的情况下只需少数历元即可成功固定,特别对于三频观测量,当伪距精度较高时,单历元可成功固定模糊度。

1 Teunissen P J G.A canonical theory for short GPS baselines.Part I：The baseline precision[J].J Geod.,1997, 71：320-336.

2 Teunissen P J G.A canonical theory for short GPS baselines. Part II：The ambiguity precision and correlation[J]. J Geod.,1997,71：389-401.

3 Teunissen P J G.A canonical theory for short GPS baselines.Part III：The geometry of the ambiguity search space [J].J Geod.,1997,71：486-501.

4 Teunissen P J G.A canonical theory for short GPS baselines. Part I V：precision versus reliability[J].J Geod.,1997, 71：513-525.

5 Teunissen P J G.On the sensitivity of the location,size and shape of the GPS ambiguity search space to certain changes in the stochastic model[J].J Geod.,1997,71：541-551.

6 王松桂.线性模型的理论及其应用[M].合肥：安徽教育出版社,1987.(Wang Songgui.The theory and application of linear model[M].Hefei：Anhui Education Publishing House,1987)

7 周扬眉.GPS精密定位的数学模型、数值算法及可靠性理论[D].武汉大学,2003.(Zhou Yangmei.The mathematical model,numerical algorithm and reliablility theory for GPS precise positioning[D].Wuhan University,2003)

8 常志巧.COMPASS卫星导航系统精密相对定位理论及其应用研究 [D].解放军信息工程大学,2009.(Chang Zhiqiao.Research on COMPASS satellite navigation system precise relative positioning and its applications[D].PLA Information EngineeringUniversity,2009)

ANALYSIS OF SUCESS RATE FOR GPS THREE-CARRIER AM BIGUITY RESOLUTI ON USING GEOM ETRY FREEMODEL

Chang Zhiqiao,Liu Li,Guo Rui and Liu Yanyu
(B eijing Global Infor m ation Application and Developm ent Center,B eijing 100094)

Geometry free model for resolving GPS ambiguity is a linear model which does not take baseline components as unknown parameters.For the Geometry free model,the code observation is al most used in ambiguity resolution directly,and although the observation ti me span is very short,the design matrixwill not have characteristics ofmulticollinearity,so that the geometry free model is very useful in ambiguity resolution.In this paper,the expressions for triple frequency float ambiguities and covariance matrix for the geometry free model have been deduced by use of the Kronecker product.The phenomena that the expression of covariance matrix is independent from the geometry between the receiver and satellites but only relateswith code and phase noise and number of epochs,and theZ-transformation martrixZis independent of the geometry between the receiver and satellites and number of epochs but only relates with code and phase noise is discovered by analysing the expression.Furthermore,the success rate of ambiguity resolution for single frequency,dual frequency and triple frequency is computed respectively.At last,the conclusions that only a few epochs need fixing ambiguities for dual frequency and triple frequency,and especially for triple frequency only one epoch needs fixing ambiguities are drawn.

GPS;geometry free model;three-carrier ambiguity resolutions;ambiguity decorrelation;success rate

1671-5942(2011)04-0119-05

2011-01-24

武汉大学地球空间环境与大地测量教育部重点实验室测绘基础研究基金(10-014)

常志巧,女,1981年生,博士,主要从事卫星导航系统数据处理研究工作.E-mail：aqiaoyaan@yahoo.cn

P228

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