Toeplitz型算子在变指数空间的有界性

徐景实，周放军

(湖南师范大学数学与计算机科学学院，中国 长沙 410081)

Toeplitz算子是指如下形式的一种算子，

其中Tj,1和Tj,2是Calderón-Zygmund算子或±I(I是恒等算子)，Mbf(x)=b(x)f(x).由此可见，由Calderón-Zygmund算子和局部可积函数b所生成的交换子可以认为是Toeplitz型算子的一种特殊情形.

当b∈BMO时，Krantz和李松鹰[7-8]研究了Tb在齐次空间上的Lp有界性.当b∈BMO时，邱道文[9]得到了广义Toeplitz型算子在齐型空间X上是从Lp(X)到Lq(X)有界的.当Tj,1和Tj,2是强奇异Calderón-Zygmund算子或±I(I是恒等算子)，且b∈BMO或b是Lipschitz函数时，林燕和陆善镇[10]研究了算子Tb从Lp(n)到Lq(n)的有界性和Lp(n)到Triebel-Lizorkin空间的有界性.受文献[6～10]等的启发，我们考虑与Calderón-Zygmund算子相关的Toeplitz算子在变指数Lebesgue空间的有界性.

这里，上确界是对包含x的所有方体而取的.ρ-极大函数和尖锐极大函数分别定义如下：对ρ>0,

定义P(n)为满足下列条件的可测函数p(·)：n→(1,∞)组成的集合：

p-=essinf{p(x):x∈n}>1,p+=esssup{p(x):x∈n}<∞.

记P°(n)为满足下列条件的可测函数p(·)：n→(0,∞)组成的集合：

p-=essinf{p(x):x∈n}>0,p+=esssup{p(x):x∈n}<∞.

下面给出变指数Lebesgue空间的定义.设函数p(·)∈P°(n),对某个λ>0,函数f满足

记B(n)是使得M在Lp(·)(n)上有界的属于P(n)的所有函数p(·)的集合.本文主要结果如下：

定理1设Tj,i是Calderón-Zygmund算子或±I，并取p(·)∈B(n).若f∈Lp(·)，T1(f)=0,则对任意b∈BMO(n),f∈Lp(·)(n)，Tb(f)∈Lp(·)(n)，有

(1)

且对所有1

(2)

这里‖Tj,i‖表示算子Tj,i的范数.

1 定理1的证明

定理1的证明方法来自[6],即先建立加权估计，然后由外推方法.权函数是非负的局部可积函数.若存在常数C使得对n中的任意方体Q，

记有序非负可测函数对(f,g)所组成的集合为F.任取集合F中的一对(f,g)和ω∈Aq,称不等式

成立，是对使得左边有限的有序对而言，并且常数C仅依赖于p0和ω的Aq常数.

引理1[6]给定集合F如上，对1

若p(·)∈P°(n)，存在0

引理2[11]设0

(3)

对所有左边有限的函数f成立.

由参考文献[7]中定理3.5的证明可得如下引理.

引理3对任意1

(4)

对任意具有紧支集的有界函数f和x∈n都成立.

引理4设1

(5)

成立.

证当1

在(5)中，当ω∈Ap0时，选取恰当的r:1

(6)

这里最后一个估计用到了下面2个估计式：

这里T是Calderón-Zygmund算子，1

最后验证‖M(Tbf)‖Lp0(ω)<∞.实际上，因为ω∈Ap0,所以有

定理的证明只剩下验证‖Tbf‖Lp0(ω)<∞.

对于I，由Hölder不等式和Tj,2的Lp0δ有界性,这里1<δ<∞，有

对于第2项，由核的性质和函数b的有界性，当|x|>2R时，有如下的点态估计，

因此，

对于一般情形，对函数b和权函数ω作如下截断.给定一个函数g,对任一N∈,我们定义

因此

‖bN‖*≤C‖b‖*,

(7)

这里C>0是一个独立于N的常数，类似地，考虑权函数ω的截断函数：ωN=inf{ω,N},则有

|ωN|A∞≤C[ω]A∞.

(8)

由(6)～(8)得到

令N趋于无穷大，由Fatou引理得‖Tbf(x)‖Lp0(ω)<∞.从而引理4成立.

显然，由引理4和引理1可以推得定理1.

参考文献：

[3] GURKA P,HARJULEHTO P,NEKVINDA A.Bessel potential spaces with variable exponent[J].Math Inequal Appl,2007,10:661-676.

[5] CHEN Y,LEVINE S,RAO R.Variable exponent,linear growth functionals in image restoration[J].Siam J Appl Math,2006,66(4):1 383-1 406.

[6] CRUZ-URIBE D,FIORENZA A,MARTELL J M.PÉREZ C.The boundedness of classical operators on variableLpspaces[J].Ann Acad Sci Fen Math,2006,31(2):239-264.

[7] KRANTZ S,LI S.Boundedness and compactness of integral operators on spaces of homogeneous type and applications I[J].J Math Anal Appl,2001,258(2):629-641.

[8] KRANTZ S,LI S.Boundedness and compactness of integral operators on spaces of homogeneous type and applications II[J].J Math Anal Appl,2001,258(2):642-657.

[9] 邱道文.齐型空间上的一类积分算子[J].数学年刊A辑，2001,22(6):797-804.

[10] 林 燕，陆善镇.与强奇异Calderón-Zygmund算子相关的Topelitz型算子[J].中国科学A辑，2006,36(6):615-630.

[12] STEIN E.Harmonic Analysis[M].Princeton: Princeton University Press,1993.