数字电路课程中卡诺图法的探讨

林志程

(湖南广播电视大学,湖南长沙 410004)

数字电路课程中卡诺图法的探讨

林志程＊

(湖南广播电视大学,湖南长沙 410004)

卡诺图在逻辑函数化简、运算以及数字电路的应用中有着广泛的用途。本文介绍了如何运用卡诺图对逻辑函数进行运算,以及在利用数据选择器实现逻辑函数的电路中,如何巧妙地运用卡诺图进行化简,得到最优方案,以达到事半功倍的效果,并介绍了几种特殊逻辑函数卡诺图的应用。

逻辑函数;逻辑运算;数字电路;卡诺图

在数字电路的分析和设计中,通常要对逻辑函数进行化简。一般情况下,有两种方法对逻辑函数进行化简:代数法和卡诺图法。代数法是运用逻辑代数的定理和公式对逻辑函数进行化简,这种方法复杂且效率低;卡诺图法是利用卡诺图对逻辑函数进行化简,它简单易行,是研究数字逻辑电路的一个非常重要的工具。本文介绍了运用卡诺图对逻辑函数进行运算、卡诺图在组合逻辑电路设计中的特殊应用,以及特殊逻辑函数的卡诺图化简,这些方法简单、易行,很有实用价值。

一、利用卡诺图进行逻辑运算

逻辑函数的运算包括与、或、非三种基本运算,另外还有两种常用的逻辑运算:异或和同或。同或就是异或的非,这里我们只讨论异或运算,同或可以通过异或求反得到。如果我们运用卡诺图对较复杂的逻辑函数进行运算并进行化简,将非常简便。

逻辑函数进行非运算即为求反函数。在卡诺图中只要将原函数卡诺图中 0和 1的位置对调,即得到原函数的反函数,图中若有约束项则其位置不变,仍为约束项;两个逻辑函数进行运算时,首先要看参与运算的逻辑函数变量数是否相同,若不同,则应将变量少的逻辑函数用扩展律变成与另一逻辑函数相同的变量数,再分别画出各逻辑函数的卡诺图,然后将各卡诺图中编号相同的方格,按图 1-图 3所示的运算规则进行运算,则可求出运算后所得逻辑函数。

图中 Ф表示约束项;以图 1与运算规则为例:

0·0=0,0·1=0,0·Ф=0;

1·0=0,1·1=1,1·Ф=Ф;

Ф·0=0,Ф·1=Ф,Ф·Ф=Ф。

例 1:已知函数 F1(A,B,C,D)=∑m(0,1,2,3,6,8)+∑d(11,12,13,14,15)

求函数 F1·F2、F1+F2、F1⊕ F2

解:此题若用代数法进行求解,将会很复杂。用卡诺图进行求解首先画出 F1、F2的卡诺图,如图 4、图 5所示。根据卡诺图与、或、异或的运算规则,分别对 F1、F2中编号相同的方格运算可得图 6-图 8所示 F1·F2、F1+F2、F1⊕ F2的卡诺图,通过化简可得它们的表达式:

二、卡诺图在组合逻辑电路设计中的特殊应用

在组合逻辑电路应用中,常用数据选择器来实现函数。对于具有约束项的逻辑函数,用数据选择器实现,关键在于约束项的处理。具有相同变量的逻辑函数,其约束项越多,电路可选方案越多,方案筛选就越复杂。目前,高等学校的“数字电子技术”或“数字逻辑”教材中对这类问题的解决,通常采用降维图法和分离变量法,这两种方法都很烦琐。这里我们介绍一种简单、便利的方法——卡诺图单向化简法。

例 2:用 4选 1数据选择器实现函数

F=∑m(2,4,5,7,10,13)+∑d(0,3,8,9,14)该函数有 5个约束项,如果采用“降维图法”进行设计,为求得最佳设计方案,必须对 5个约束项分别作“0”或“1”处理,这样就会产生多达 32种选择方案。每种方案需作 3张卡诺图或降维图,以便求出最优方案,其烦琐程度可想而知。

如果采用“分离变量法”进行设计,虽然可以避免作很多卡诺图的困扰,但是为求寻最佳方案,多次试探是必不可少的。因为该方法的理论依据是将欲实现的逻辑函数表达式与数据选择器标准输出表达式进行比较,从而确定数据选择器地址变量、数据输入端变量。因此,在进行变量分离时,其约束项的值亦需事先设定。这就给最优方案的筛选增加了很大难度。首先,我们来看一种比较常见的情况,假设所有的约束项均为“0”时,函数 F成为:

可见,实现该方案需一块 4选 1数据选择器、2个与门和一个或门。

如果再想寻求更佳的方案,不但要重新设定约束项的取值,还要认真研究哪些变量为最佳分离变量。对于任意一个具有多个约束条件的逻辑函数,不难想象究竟需要多少次试探。

下面我们介绍用卡诺图单向化简法来解决如何用 4选 1数据选择器实现函数 F。首先画出函数 F的卡诺图。图 9中,我们选 A、B作为地址码,C、D作为数据输入,采用卡诺图“行”向化简,函数 F化简为:

图10中,我们选 C、D作为地址码,A、B作为数据输入,采用卡诺图“列”向化简,函数 F化简为:

由上可看出,C、D作为地址码,A、B作为数据输入时,得到的结果更简单,即第二种方案应该是最优的。在这个方案中,我们把约束项 (8,9,14)作“0”处理,而约束项 (0,3)作“1”处理,从而得出了最优方案。显然,这种方法既简单又快捷。

三、特殊逻辑函数的卡诺图化简

一般情况下,用卡诺图化简逻辑函数,只能对相邻项进行合并。但对于有些特殊的逻辑函数,可利用图 11-图 13几种特殊卡诺图进行化简,非常方便。

例 3:化简逻辑函数 F=∑m(1,2,4,7,8,11,13,14)。

解:画出 F的卡诺图如图 13所示。虽然该函数中各最小项两两都互不相邻,但我们利用特殊函数卡诺图很容易得到:

F=A⊕ B⊕ C⊕ D

四、结束语

卡诺图的妙用还有很多。这里主要介绍了利用卡诺图进行逻辑函数运算、卡诺图在组合逻辑电路设计中的特殊应用以及特殊逻辑函数的卡诺图化简,这些方法准确、快捷,比代数法等其它方法更直观、简单,且不容易出错,值得推广。

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[5]彭仁修.电子技术基础[M].武汉:华中科技大学出版社,2004.

On the KarnaughMap in the D igital Circuit Course

L IN Zhi-cheng

Karnaugh map iswidely used in the simplification and operation of logical function and the application of digital circuit.This paper explains how to use karnaugh to operate the logical function and to simplify to get the bestpattern in the process of the realizing the circuit of logical function with the help of data selector.In the meanwhile,this paper also discusses the application of several special logical funcition karnaugh maps.

logical function,logical operation,digital circuit,karnaugh map

TN79-4

A

1009-5152(2011)02-0067-03

2011-03-09

林志程 (1965- ),男,湖南广播电视大学高级实验师。