随机环境马氏链下熵的极值问题的研究

2012-01-05 00:42宁小青郭光耀

湖北民族大学学报(自然科学版) 2012年2期

关键词：信息论光耀马氏

宁小青，郭光耀

(武汉工程大学理学院，湖北武汉 430073)

1 随机环境马氏链下的有关的熵

设{Xn,n≥1}为状态有限的随机环境马氏链，相关定义及其性质，参见文献[1-9]，且满足π遍历，E=m，Ui={Φ}，∧(M)=1，本文将研究与{Xn,n≥1}有关的熵有关的极值问题.

Pn(ω;i,j)=P(ω0,…,ωn-1;i,j).

对任意的i,j∈{1,2,…,m}，n=1,2,…，ω∈Ω，令:

En′=((i,j):i,j∈E,P(ωn+1;i,j)>0,n≥1)；ξ=(ξ(1),ξ(2),…,ξ(n))；ξ(n)=(ξij(n),(i,j)∈E′)；

且满足，∀1≤n有:

Ci(ξ(1))=Ci(ξ(2))=…=ri(ξ(1))=ri(ξ(2))=…

(1)

若ξ满足条件式(1)，则记ri(ξ(n))=ri(ξ).

2 概率空间上有关测度与维数的定义

首先，引入概率空间上Hausdorff测度与Hausdorff维数的有关定义.假定{Xn,n≥1}是定义在概率空间(Ω,F,μ)上取值于有限或可列的状态空间E的随机过程，令Ia1,…,an={ω∈Ω:Xk=ak,k=1,2,…,n}，其中(a1,a2,…,an)∈En，称Ia1,…,an为n阶柱集，记In(ω)=:IX1(ω),…,X2(ω)，显然，这是包含ω的n阶柱集，约定零阶柱集I0(ω)=Ω.

定义1Φ恒表示满足下列条件的函数φ所成的类：

1)φ:(0,δ)→(0.),(δ>0)，

2)φ是单增，右连续的，且φ(0+)=0.

定义2 任取φ∈Φ，M⊂Ω，0<δ<1，令:

Lμ(M,φ,δ)=inf{∑φ(μ(Bi)){Bi,i≥1}是M的一个μ-σ-覆盖}，

则称Lμ(M,φ)是集合M关于测度函数φ的Hausdorff测度，特别地，当φ(x)=xα时，分别记此时的Lμ(M,φ,δ)，Lμ(M,φ)为Lμ(M,α,δ)与Lμ(M,α)容易得到，当Lμ(M,α)<时，∀ε>0，总有Lμ(M,α+ε)=0，故存在α0=inf{α:Lμ(M,α)=0}=sup{α:Lμ(M,α)>0}，称此α0是M的Hausdorff维数，记为dimμ(M).在不引起混淆的情况下，以上符号可分别写为：L(M,φ,δ)，L(M,φ)，L(M,α,δ)，L(M,α)，dim(M).

类似，可以定义填充测度与填充维数Dim(M)等，参见文献[5，8].

b)3条件熵的极值相关结论及证明

若令M(ξ)={ω∈Ω:δ(ω,n;i,j)→ξij,∀(i,j)∈E′}.B={一切满足条件1)的所有组合的集合，∀1≤i≤m},M(S)={ω∈Ω:∃ξ∈S使δ(ω,n;i,j)→ξij，∀(i,j)∈E′}，则按照上面条件熵与Hausdorff测度与Hausdorff维数及填充测度与填充维数的有关定义与性质，可以得到ξ的条件熵的极值与M(S)维数之间有下面的关系.