Gram矩阵在不等式中的应用

张 宾

(湖北民族学院 预科教育学院，湖北 恩施 445000)

定义1[1]设x1,x2,…,xn是内积空间中的n个向量，矩阵:

称为由x1,x2,…,xn生成的Gram矩阵.通常用G(x1,x2,…,xn)来记上述Gram矩阵.其行列式称为Gram行列式，通常用Γ(x1,x2,…,xn)表示.

引理1[5]设x1,x2,…,xn是内积空间中的n个向量，则G(x1,x2,…,xn)为半正定矩阵，当且仅当x1,x2,…,xn线性无关时G(x1,x2,…,xn)为正定的.

引理2 设x,y,z是实内积空间中的三个非零向量，则:

式(1)当且仅当x1,x2,…,xn线性相关时等号成立.

定理1 设x,y是实内积空间中的向量，若x=(ξ1,ξ2,…,ξn),y=(η1,η2,…,ηn),则有:

其中1≤i≤n.

(1)

定理2 设f,g是区间(a,b)上的Lebesgue可积函数，满足:

m≤f(x)≤M,n≤g(x)≤N,∀x∈(a,b),其中m+M≠0,n+N≠0,则有:

整理得： |‖g‖2(f,1)-(f,g)(g,1)|≤

‖f‖dist(g,Span{f})dist(g,Span{1})≤‖g‖dist(f,Span{g})dist(g,Span{1}).

代入得：

‖f‖dist(g,Span{f})dist(g,Span{1})≤

(b-a)2‖g‖dist(f,Span{g})dist(g,Span{1})

由题设m≤f(x)≤M,n≤g(x)≤N,∀x∈(a,b)得：

综上可得结论：

定理3 设x1,x2,…,xn为内积空间中的向量，‖xi‖≤1,则有:

证明因为Γ(x1,x2,…,xn)≤Γ(x1)Γ(x2)…Γ(xn).

由Gram矩阵的性质知，这些行列式都非负且小于等于1，所以:

Γα(x1,x2,…,xn)≤Γα(x1)Γα(x2)…Γα(xn),其中α≥0,

注：同理可得下面结论.

定理4 设x1,x2,…,xn为内积空间中的向量，‖xi‖≤1,1≤k≤n,则有:

根据引理4(Ostrowski不等式)[2]和引理2可得以下结论：

定理5 设a,b,x是实内积空间的三个非零向量，满足(a,x)=0,‖x‖=1，则有:

证明在式(1)中用a,b,x代替式(1)中的x,y,z得:

因为(a,x)=0,‖x‖=1,故(a,b)2≤‖a‖2[‖b‖2-(b,x)2]，

设x=λa+μb，由假设条件(a,x)=0,‖x‖=1可得:

‖a‖2λ+(a,b)μ=0,‖a‖2λ2+2(a,b)λμ+‖b‖2μ2=1，

证明由G(a,b,x)得半正定性得Γ(a,b,x)≥0,即:

展开得：‖a‖2‖b‖2‖x‖2-‖a‖2(b,x)2-‖b‖2(a,x)2-‖x‖2(a,b)2+2(a,b)(a,x)(b,x)≥0.

代入题设条件(a,x)=0,‖x‖=1得:‖a‖2‖b‖2≥‖a‖2(b,x)2+(a,b)2,

由函数性质可得：‖a‖p‖b‖p≥‖a‖p(b,x)p+(a,b)p,p≥2,

证明将Γ(x,a,b,c)展开整理后可得[4]:

‖c‖2Γ(x,a,b)+Q(x,a,b,c)≥ [‖x‖‖a‖|(b,c)|-‖x‖‖b‖|(a,c)|]2+

[‖x‖‖a‖|(〗b,c)|-‖a‖‖b‖|(x,c)|]2+

[‖x‖‖b‖|(a,c)|-‖a‖‖b‖|(x,c)|]2.

其中:Q(x,a,b,c)= ‖x‖2‖y‖2|(z,ω)|2+‖x‖2‖z‖2|(y,ω)|2+‖y‖2‖z‖2|(x,ω)|2-

2(x,ω)(x,y)(z,ω)(y,z)-2(z,ω)(x,z)(x,y)(y,ω)-2(y,ω)(x,z)x(z,ω)(y,z)+

(z,ω)2(x,y)2+(y,ω)2(x,z)2+(x,ω)2(y,z)2

代入题设条件(x,a)=0,(x,b)=1,(x,c)=0得:

定理8 设设x,a,b,c是实内积空间中的向量，满足‖x‖=1,(x,a)=0,(x,b)=0，则有:

证明将Γ(x,a,b,c)展开整理后可得:

‖x‖2Γ(a,b,c)+Q(x,a,b,c)≥[‖a‖‖b‖|(c,x)|-‖a‖‖c‖|(b,x)|]2+

[‖a‖‖b‖|(c,x)|-‖b‖‖c‖|(a,x)|]2+[‖a‖‖c‖|(b,x)|-‖b‖‖c‖|(a,x)|]2.

代入题设条件‖x‖=1,(x,a)=0,(x,b)=0可得:

Γ(a,b,c)+[‖a‖2‖b‖2+(a,b)2](c,x)2≥2‖a‖2‖b‖2(c,x)2,

证明将Γ(y,x1,x2,…,xn)展开得[3]:

‖y‖2[‖x1‖2-btG-1(x2,…,xn)b]Γ(x2,…,xn)-Γ(x2,…,xn)=‖y‖2Γ(x1,x2,…,xn)-Γ(x2,…,xn).

证明将Γ(y,x1,x2,…,xn)展开得:

Γ(y,x1,x2,…,xn)= Γ(x1,x2,…,xn-1)[‖xn‖2-(xn,y)2-btG-1(x1,x2,…,xn-1)b]=

Γ(x1,x2,…,xn-1)[‖xn‖2-btG-1(x1,x2,…,xn-1)b]-Γ(x1,x2,…,xn-1)(xn,y)2=

Γ(x1,x2,…,xn)-Γ(x1,x2,…,xn-1)(xn,y)2[8].

这里b=((x1,xn),(x2,xn),…(xn-1,xn))t.

由Γ(y,x1,x2,…,xn)≥0可得：Γ(x1,x2,…,xn)-Γ(x1,x2,…,xn-1)(xn,y)2≥0，

由Gram矩阵的性质可知当且仅当x1,x2,…,xn,y线性相关时等号成立.

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