基于含可变因子广义S变换的瑞雷面波频散曲线提取方法

周竹生，杨朋凯，陈友良

（中南大学 地球科学与信息物理学院，湖南 长沙 410083）

基于含可变因子广义S变换的瑞雷面波频散曲线提取方法

周竹生，杨朋凯，陈友良

（中南大学 地球科学与信息物理学院，湖南 长沙 410083）

面波频散曲线的提取是面波资料处理的关键。鉴于S变换和广义S变换不能全时段兼顾频率分辨率和时间分辨率的缺点，提出了含可变因子广义S变换进行瑞雷面波频散曲线的提取方法。可变因子的引入使得高斯窗函数的宽度随频率发生变化时具有目的性，而不是简单地随着频率的增大而变窄。该方法可以有针对性地改善局部频段（特别是低频段和高频段）的频率分辨率及时间分辨率。通过理论模型和实际资料试算表明：含可变因子广义S变换提取面波频散曲线的方法具有可行性和实用性。

瑞雷面波；S变换；广义S变换；可变因子；频散曲线

0 前言

面波勘探方法是近年来发展起来的一种浅层地震勘探新方法，它是基于瑞雷波的频散特征来进行工作的。由于瑞雷波的波速同剪切波速度及岩、土力学参数有着密切的关系，因此在岩、土工程、煤田超前预测和地基处理等方面得到广泛应用［1～3］。其核心是利用了层状介质中面波的频散特性和传播速度与岩土物理力学性质的相关性来达到勘探目的，即不同的频率成份具有不同的相速度。因此如何准确提取频散曲线，是瑞雷波勘探技术的关键问题。

对瑞雷波频散曲线的提取，前人做过一些研究。利用互相关谱法［4］，对两道信号进行傅里叶变换，得到自功率谱和互功率谱、传递函数和相干函数，由互功率谱可以得到两道信号由于面波传播过程中时间滞后所产生的相位差，从而求出频散曲线。但是，由于傅里叶变换的相位变化范围为［－π，＋π］，因此计算所得到的相位可能会相差n倍，限制其应用。另外，对于频率较低的单色波，一般情况下其相位差很小甚至趋于零，此时，即便相位差存在一个极小的误差，都会对计算得到的相速度带来极大的影响。刘云祯［5］等人提出通过多道分析选择最佳观测时窗，利用F－K变换提取瑞雷波频散曲线，但当各种转换波与面波严重耦合在一起时，难以选择最佳观测窗口；Tatham、陈淑珍、孙先海等人［6～8］提出利用τ－p变换进行波场分离的思想，为瑞雷波频散曲线的提取提供了一条新的途径，但是τ－p变换易出现假频和端点效应，且对层状介质，τ－p域中瑞雷面波没有点状特性，对于裂隙、空洞等复杂情况，τ－p域中的形状更加复杂。此外，由于在岩土工程等方面应用的瑞雷波属于典型的非平稳信号，如果在瑞雷波分析和参数提取方面还沿用时不变信号的处理手段进行处理，势必受到一定的限制。因此，可以尝试采用时频分析的方法进行处理。

在应用时频分析进行频散曲线提取方面，孔令召［9］、马见青［10］等通过 Gabor变换和S变换进行瑞雷面波的频散曲线提取，取得了一定的效果。但由于Gabor变换中高斯函数形态固定，受海森堡测不准原则限制，时频分辨率不能达到最好，并且S变换中固定的基本小波也限制了其应用效果。为此，作者在广义S变换的基础上，对高斯窗函数进行了改造，即引入一个以频率为自变量的可变因子函数，以便针对非平稳信号的时频特征，灵活多变地调节窗函数的类型及其参量，避免了S变换的时频分辨率变化趋势不变及广义S变换的时频分辨率变化趋势单一的问题，使之具有更高的适应性和针对性，进而继承和发展了广义S变换。同时，利用可变因子的广义S变换进行瑞雷波频散分析，取得了理想的效果。

1 基本原理

1.1 S变换和广义S变换

Stockwell等［11、12］吸收短时傅立叶变换和连续小波变换二者的优点，提出了著名的S变换，它是以Morlet小波为基本小波的连续小波变换的延伸。S变换表述如式（1）：

式中 h（t）为信号在时域的表示式；f代表频率；τ是时间，为窗函数的中心点，控制着窗函数在时间轴上的位置。

显然，在S变换中，其基本小波和高斯窗函数被分别定义为：

由此可见：S变换允许高斯窗函数的宽度随频率f的改变而改变，且表现为随频率f的增大而变窄。因此，在低频段时窗较宽，相应的频率分辨率较高；而高频段时窗较窄，对应的时间分辨率较高。也就是说，S变换在低频、高频段分别具有较高的频率分辨率和时间分辨率。

在S变换中，由于基本高斯窗函数形态固定，因而限制了它的应用。为此，Mansinha等［13～15］提出用｜f｜／k代替S变换的高斯窗函数中的｜f｜。这时，高斯窗函数表示为：

便得到所谓的广义S变换：

式中 k为常数，且k＞0。

当k＝1时，即为标准的S变换，也就是说S变换仅是广义S变换的特例。在广义S变换中，通过控制k值的变化，可以提高时～频谱的时间（或频率）分辨率。如：小k值对应高时间分辨率；大k值对应高频率分辨率。鉴于时间分辨率和频率分辨率之间的对立性，在应用Mansinha广义S变换时，应根据实际情况选择合适的k值。

1.2 含可变因子的广义S变换

S变换无法解决频率分辨率和时间分辨率之间的矛盾。Mansinha［13］提出的广义S变换虽然可以通过调节k值来分别提高频率分辨率或时间分辨率，但由于k值是在全域内设定的常数值，它在提高频率分辨率或时间分辨率的同时，分别以牺牲时间分辨率或频率分辨率为代价，因而，仍然没有解决二者之间的矛盾。

总的来说，对某一非平稳信号的时～频分解，S变换获得的时～频谱是唯一的，其时频分辨率是不可改变的；广义S变换通过调控k值可以获得多个时～频谱，但对于某个固定的k值，其分辨率的变化趋势仍是单一的。因此，无论S变换还是广义S变换，都无法做到同时对全时段信号的局部频段的分辨问题进行着重刻画。为使变换得到的时～频谱能更好地反映全时段信号局部频段的细节，对广义S变换中的高斯窗函数进行改进，引入一个与频率有关的可变因子σf，得到了一种全新的广义S变换。

将式（4）所示的高斯窗函数修正为：

式中 σf是一个以频率f为自变量的函数因子，可视需要而定义为不同类型的函数。

例如取：

或

σf（f）＝ （kf＋b）a

式中 k、a、b均取常数。

当可变因子σf随频率f呈线性变化时，含可变因子的广义S变换表示为：

2 含可变因子的广义S变换提取瑞雷面波频散曲线

利用含可变因子的广义S变换提取频散曲线，只需求得道间距为d的两道信号的时频谱，就可以求出各频率的相速度，实现步骤如下：

（1）分析工区的瑞雷面波信号，选用合适的可变因子σf，对道间距为d的两道瑞雷面波信号进行可变因子广义S变换，取得二张时频谱图。

（2）固定频率f，分别在二张频谱上寻找该频率能量极值所对应的时间t1、t2，可计算出该频率在这二张时频谱上的时间差Δt＝｜t1－t2｜。

（3）计算相速度VR（f）＝；为克服偶然性

影响，最好采用统计平均方法计算相速度，即：

式中 N为面波记录的总道数；Δtm为频率为f的第m－1和第m道之间的时间差。

（4）改变频率f，重复步骤（2）～步骤（3），最终获得全部计算频段内的相速度，即f－VR频散谱图。

3 仿真实验

为了对比S变换、广义S变换和含可变因子广义S变换的时～频分析效果，首先用合成模型信号来说明含可变因子广义S变换具有更好的时频分析能力。

图1是合成的非平稳信号。

图2（a）为合成信号的S变换时频谱，从图2（a）中可见，S变换保持了在低频段有较好频率分辨率、高频段有较好时间分辨率的特点，但低频段的时间分辨率较低，高频段的频率分辨率较差。图2（b）是对应的广义S变换的时频谱，可见，虽然通过选择合适的k值，提高了低频段的时间分辨率，但全域的频率分辨率大大下降，因此，广义S变换只能在时间分辨率和频率分辨率二者之间取舍。图2（c）是取可变因子为0.02f时的广义S变换的时频谱，其中不仅时间分辨率得到了较大幅度的改善，而且中高频成份的频率分辨率也有所提高。

通过比较不难发现，含可变因子的广义S变换，在时域和频域的分辨率都比S变换乃至广义S变换具有明显的优点。

4 实际资料试算

图3是福建某高速公路某工点采集的单炮面波记录，检波器主频3.8Hz，12道接收，道间距为1m，采样点数为1 024个，采样间隔为0.2ms。

图3 单炮面波记录Fig.3 Single－shot surface－wave records

按照上述求算步骤，以第7道和第8道为例来说明。对两道进行含可变因子的广义S变换，得到二张时频谱（如图4所示），分别在二张时频谱上寻找出20Hz的极值点所对应的时间记录点分别为301和268，由于采样间隔为0.2ms，则时间差为6.6ms，由此计算出的对应频率20Hz的相速度为151.5m／s。用相同的方法也可以求出不同频率的相速度，即频散曲线。

按工程上的习惯，将频率转换为波长，并遵照半波长解释理论，将波长转换为勘测深度，就可得到如图5所示的相速度～深度图。

经证实，该相速度－深度曲线所揭示的分层信息和各层物性参数与钻探资料吻合良好。

5 结论

理论模型和实际资料试算结果表明，利用可变因子，可以控制高斯窗函数宽度变化的快慢，使得窗函数的改造与实际信号的特征更加紧密地联系起来。相比S变换及Mansinha提出的广义S变换，含可变因子的广义S变换更能反映信号的局部特征。鉴于含可变因子的广义S变换的这种优势，对瑞雷面波记录进行含可变因子的广义S变换，能够更准确地反映时间和频率的对应关系，因而提高了提取瑞雷波相速度的精度，得到较理想的频散曲线（受篇幅影响，这里未逐一展出S变换和广义S变换的计算结果）。

值得一提的是，随着时频分辨率的提高，在时频谱上识别各频率的极值的难度相对增大，有时可能面临多极值选择。因此，实际工作中，应适当加入一些图像处理、人工交互解释以及统计计算方面的工作，才能保证取得更为理想的效果。

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P 631.4

A

10.3969／j.issn.1001－1749.2012.05.03

1001—1749（2012）05—0518—05

2011－11－04 改回日期：2012－06－04

周竹生（1965－），男，湖南祁阳人，博士后，教授，现主要从事资源勘查、工程物探、地质灾害调查、信号处理、应用软件研制及数据库开发等方面的教学和研究工作。