转动惯量与惯性质量的转换关系

张军平

(复旦大学计算机科学技术学院 上海 200433)

1 简介

刚体的定轴转动中，当转动惯性系与平动参考系并存时，其问题的求解需要涉及多个经典力学的物理概念，如动量守恒、角动量守恒、力矩公式、能量守恒等等.尤其在考虑与滑轮相关的问题时，学生更容易混淆相关物理概念.

在教学中，笔者发现可以将与滑轮组相关的刚体定轴转动问题，转化到平动惯性系来快速求解.其中关键的技巧是将转动惯性系中的转动惯量转换成平动惯性系中的惯性质量.在解题时，这一技巧能较方便地解决相关的问题并促进学生对刚体定轴转动的理解.

本文在余下的部分首先简要回顾转动惯量的基本知识，提出转动惯量与平动惯性系的惯性质量的转换关系，并给出了一组推论.然后，通过3个实例验证了这一处理的有效性.最后,对文章进行了总结.

2 转动惯量与惯性质量的转换

转动惯量是刚体转动时具有的一种“惯性”.与平动惯性系下的惯性质量相似，均表现为阻碍物体的运动.不同在于，惯性质量是阻碍物体或质点的平动，而转动惯量是阻碍质点、质点系和刚体的转动；其次，平动惯性系的惯性质量与参考系的选择(在低速意义下)无关，而转动惯量则与刚体的形状和参考原点的选择密切相关[1～4].

因此，在处理与刚体定轴转动相关的题型时，首先要考虑的是转动惯量的计算，然后进行受力分析，其中如何有效引入转动惯量需要仔细考虑.例如，在与滑轮转动、含平动的转动等相关的题型中，利用下面两个公式的等价性往往是最常见的一步

M=r×F

(1)

M=Jα

(2)

式中r表示受力点与定轴参考原点之间的距离矢量，F表示受力点上的外力矢量，J是刚体的转动惯量，α是刚体的角加速度，M是力矩.利用式(1)、(2)的等价性，可以对与滑轮相关的题型进行有效分析，并很好地引入转动惯量的概念.而如果题型涉及能量守恒时，则需要引入转动动能，即

(3)

这里Ek表示转动动能，ω表示角速度.

在教学中，笔者发现当从以上角度求解与滑轮组相关的题型时，学生往往很难较快地发现题型中隐含的各种条件.一个可能的原因是滑轮组相关的题型里实质上体现了经典力学中多个概念性的组合，同时需要从两种不同参考系(平动惯性系与转动参考系)来分析问题.因此，如果能将两个参考系通过转换成单个参考系(如平动惯性系)来分析，则问题的难度有可能会下降.

基于以上观察，发现对于半径为R，元质量均匀分布，总质量为m，以圆的中心为定轴转动的滑轮而言，其转动惯量J可以由下式进行转换，看成是平动惯性系中的“伪”惯性质量mpseudo为

(4)

其直观理解为当存在滑轮的转动时，其在平动惯性系的“伪”惯性质量等价于转动参考系的转动惯量除以受力点到刚体定轴转动原点的距离的平方.

为方便阅读，式(4)的理论性分析可参考本文的附录部分.

基于式(4)，不难得出4种不同刚体定轴转动时，其相对应的“伪”惯性质量的大小，如表1.

表1 刚体转动惯量与“伪”惯性质量的对应

表中m表示刚体的总质量，R，R1为刚体定轴旋转时距旋转刚体的原点的半径，R2为匀质厚圆筒的内壁半径，L是匀质圆柱体的长度.匀质矩形薄板的“伪”惯性质量大小依赖于定轴旋转的方向.

3 示例分析

在本节中，我们期望对以下3种刚体力学的题型，按文中提出的转换技巧重新进行受力分析和求解.

图1 含平动的转动问题示例1

【例1】质量为mA的物体A静止在光滑水平面上，和一质量不计的绳索相连接，绳索跨过一半径为R，质量为mC的圆柱形滑轮C，并系在另一质量为mB的物体B上，滑轮与绳索间没有滑动，且滑轮与轴承间的摩擦力可略去不计，如图1所示，问：

(1)两物体的线加速度为多少？水平和垂直两段绳索的张力各为多少？

(2)若滑轮与轴承间的摩擦力不能忽略，并设它们间的摩擦力矩为Mf，求线加速度及绳的张力.

分析：这一题型的特点是转动刚体和平动刚体并存.这就要求学生能较好地运用隔离法对物体进行受力分析，同时能熟练地运用牛顿第二定律、转动定律来列方程和求解，因此是一道综合题，目的是考查学生对经典力学的理解和贯通，具有一定的难度.

(1)如果将这种转动刚体和平动刚体并存的情况，转化为仅考虑平动惯性系的力学问题，则可以得到简化的求解过程.依式(4)，首先将具有转动惯量J的滑轮进行转换，变换成平动惯性系的“伪”惯性质量mpseudo，这一质量等于

(5)

则可重新分析图1 的受力情况.因为如果将3个物体视为一个系统时，则所受的合外力应为

F=mg

(6)

其中g为重力加速度.同时，这一合外力对平动惯性系有一个整体的加速度，即满足

F=mta

(7)

这里在平动惯性系意义下系统的总质量mt满足

mt=mA+mB+mpseudo=

(8)

联立式(6)、(7)，可得线加速度为

(9)

利用基本的受力分解，可以得到水平和垂直两段绳索的张力.这里就不再赘述.

(2)如果存在摩擦力矩，考虑到合外力矩M具有式(1)的形式, 可以得到摩擦力矩的力Ff为

(10)

因为力Ff是阻碍物体运动的力，在本系统中表现为与物体B的运动方向相反，所以,将产生摩擦力矩的力Ff代入式(6)右端，则有

(11)

联立式(7)、(8)、(11)，可得存在摩擦力矩时系统的线加速度为

(12)

相应地，我们可以基于式(12)自然推导此时水平和垂直两段绳索的张力.

图2 含平动的转动问题示例2

【例2】一质量为m′,半径为R的圆盘，可绕一垂直通过盘心的无摩擦的水平轴转动.圆盘上绕有轻绳，一端挂质量为m的物体.如图2所示.问物体由静止下落高度h时，其速度的大小为多少？设绳的质量忽略不计.

分析：这一题型的特点也是转动刚体和平动刚体并存.教授这一题型的目的是要让学生理解在合外力及非保守内力为零的前提下系统内部的机械能守恒.由于包含刚体的转动和平动，解题的关键在于要清楚地知道动能可分为平动动能和转动动能两部分.

如果我们同样将这一转动与平动相混合的问题，通过式(4)将转动部分的转动惯量变换为平动部分的“伪”惯性质量，则本题中平动惯性系意义下系统的总质量mt显然满足

(13)

通过受力分析，易知系统仅受作用于质量为m的物体上的重力作用，同时，此重力作用在系统上会产生一个加速度，故有

(14)

由此可知，系统的加速度a为

(15)

考虑到速度与加速度及高度的关系和初始条件，可得

(16)

图3 含平动的转动问题示例3

分析：原题主要考查学生对角动量定理的应用，同时，需注意的是题中既包含质点的角动量，也有刚体的角动量.由于具有两个质点和一个刚体，学生在受力分析和计算过程中都容易产生概念的混淆.标准的求解方法参见文献[5].

依据笔者提出的转换关系，则可以首先按式(4)将滑轮组具有的转动惯量变为“伪”惯性质量，即

(17)

因此，在转换意义下，系统的总质量mt为

(18)

(19)

从以上解法不难发现，首先，通过提出的转换技巧来求解以上含平动的转动问题时，可以使问题求解简化，且只要考虑如何将转动惯量通过式(4)转换成“伪”惯性质量，随后的过程仅涉及牛顿第二定律的基本概念.其次，通过提出转换技巧，建立了转动惯性系与平动惯性系之间的联系.另外，引用的定理和最终求解思路没有影响学生对物理概念的理解.最后，在课堂上同时教授原解题策略和笔者提出的转换关系，可以使学生加深对经典力学知识的了解，并可以让学生了解到这一问题求解的多样性.

4 结论

文章通过研究转动惯量与惯性质量的转换关系，将转动惯量变换为平动惯性系的“伪”惯性质量.当处理一类具有平动、转动混合的，与刚体相关的力学题型时，这一转换可以简化原有的解题思路，使得具有两个不同参考系的问题可以在同一框架下求解，在教学时可以帮助启发和活跃学生的思维，并能使学生更好地理解经典力学的基本概念和知识.

参考文献

1 张三慧.大学物理第一册(第二版).北京：清华大学出版社，1999

2 程守洙，江之永.普通物理学第一册(第五版) .北京：高等教育出版社,1998

3 梁励芬，蒋平.大学物理简明教程.上海：复旦大学出版社, 2002

4 (美)费恩曼，莱顿，桑兹著.郑永令，华宏鸣，吴子仪,等译.费恩曼物理学讲义(第一卷).上海：上海科学技术出版社，2005

5 胡盘新.大学物理解题方法与技巧.上海:上海交通大学出版社，2004.126～127

附录：

A.转动惯量与“伪”惯性质量的转换关系的理解

附录A旨在给出式(4)的基本理解.由于刚体定轴转动时受到外力作用，其合力矩公式总可以有下面的关系

RFT2-RFT1=Jα

(A-1)

其中R是刚体定轴转动时距定轴点的距离，α是角加速度，J是转动惯量.FT1，FT2为刚体转动部分所承受的外力.

而又知

所以，式(A-1)可转换为

(A-2)

我们又知道，牛顿第一定律指出，在平动惯性系中，力是改变物体运动状态的原因.同时，牛顿第二定律表明力作用在质点上时，可以产生直线加速度，其公式一般写为

(A-3)

由此可以推断，在多数与刚体定轴相关的习题中，可以通过式(4)来估计物体在平动惯性系下的“伪”惯性质量，从而简化原有问题的求解.