关于自行车的两个力学问题

张九铸

(金川集团公司龙门学校 甘肃 金昌 737100)

1 问题的提出

如图1所示，自行车在竖直平面内沿水平道路做直线运动．前、后轮半径均为R，绕轴转动惯量均为I；车与人总质量为m，整体质心的高度为hC，与前、后轮轴线的水平距离分别为d1,d2．链条传动的主动轮与从动轮齿数之比为Z，脚蹬曲柄AB长为h．两轮与地面之间的滚动摩阻系数为δ．

(1)设车轮做纯滚动，轮心做匀速直线运动，速度大小为v0，则A点的轨迹方程和在任意位置处的曲率半径如何？

(3)研究加速过程，假设车轮只滚不滑，钢圈角加速度大小为β，则前、后轮所受支持力如何？

图1 自行车示意图

2 脚蹬的轨迹和曲率半径

建立如图1所示固定坐标系，以A点在最高位置时B点正下方地面上一个定点O为坐标原点，此时也是计时起点．设前、后齿轮半径分别为rB，rC，角速度大小分别为ωB，ωC．对链条上各点相对于车架的速度大小有关系ωBrB=ωCrC．又已知

由以上结果得到

(1)

A点的坐标为

x=v0t+hsinφy=R+hcosφ

利用式(1)消去上式中的v0，并且注意φ=ωBt，得到

x=ZRφ+hsinφ

y=R+hcosφ

(2)

这表示是一条旋轮线．容易看出，该旋轮线是由半径为ZR的圆轮(本体极迹)沿着直线y=-(Z-1)R(空间极迹)纯滚动时，其内部与圆心距离为h(h

图2

如图3所示，求式(2)对时间的导数，得到A点的速度投影为

vx=v0+ωBhcosφ

vy=-ωBhsinφ

(3)

图3

加速度投影为

(4)

由式(3)、(4)，并利用式(1)，得到A点的合速度大小和合加速度大小分别为

(5)

(6)

于是，切向加速度和法向加速度为

(7)

(8)

曲率半径为[1]

(9)

注意：A的轨迹方程和曲率半径都与圆轮的纯滚动是否为匀角速度无关，它们完全是两个几何问题．

3 刹车和加速过程中前后轮所受支持力

3.1 刹车过程

研究整个刹车过程．如图1坐标系中，设前、后轮受地面支持力分别为N1,N2，静摩擦力为f1,f2，以顺时针方向为转动正向，钢圈角加速度为β，则对整个系统由质心运动定理有

-(f1+f2)=mRβ

N1+N2=mg

(10)

设钢圈转动角位移为θ，则自行车刹车位移为

s=Rθ

(11)

对整体运用质心系中的动量矩定理有

-N1δ-N2δ-N1d1+

N2d2+f1hC+f2hC=2Iβ

(12)

(2I+mR2)β

(13)

-mgδ-N1d1+N2d2=

(2I+mRhC)β

(14)

联立式(13)、(14)消去β，有

-mgδ-N1d1+N2d2=

(15)

联立式(10)、(15)，得

(16)

(17)

(18)

3.2 加速过程

研究加速过程．如图1坐标系中,设前、后轮所受支持力分别为N1,N2，静摩擦力分别为-f1,f2，以顺时针方向为转动正向，钢圈角加速度为β，则对整个系统由质心运动定理有

-f1+f2=mRβ

N1+N2=mg

(19)

对整体运用质心系中的动量矩定理有

-N1δ-N2δ-N1d1+

N2d2+f1hC-f2hC=2Iβ

(20)

由式(19)消去方程(20)中的-f1+f2和N1+N2，得到

-mgδ-N1d1+N2d2=(2I+mRhC)β

(21)

联立式(19)和(21)得到

(22)

由式(22)可见，自行车启动加速度越大，前轮上的支持力N1越小，以至于当加速度过大，使

时,N1=0，即前轮将脱离地面．显然，这个角加速大小与整体质心的高度hC有关，高度越大，βmax越小，前轮越容易离地．上述结论完全可以推及汽车的加速过程．

参考文献

1 张九铸．带电粒子在正交电场和磁场中轨迹的形成及曲率半径．大学物理，2011，30(5)：35～38

2 李俊峰，张雄．理论力学．北京：高等教育出版社，2010.124