注意电场和磁场的边界

孟鲁江 魏致远

(浙江诸暨荣怀学校 浙江 绍兴 311800)

1 问题的提出

为了使中学生能够解决一些比较复杂的问题，编题者往往会设置一些理想化的电场或磁场边界，但如果深究，就会发现有的理想边界导致了矛盾的结果，应引起我们注意并弄清楚产生谬误的根源.

首先，我们来看一个貌似有理的永动机模型.如图1所示,匀强电场有一个理想的与电场斜交的边界.带电粒子以某一个初速度进入电场，在电场力的作用下做加速曲线运动，后被粒子收集器规范进入磁场，绕半个圆周后通过涡轮机做功，再进入电场做加速运动，达到周而复始的目的.

图1

永动机被能量守恒定律证明为不可能，显见此处的问题出在理想化的电场边界上，这种与电场斜交的边界是相当“危险”的.

2 不争的现实

这种理想化的危险边界不是空穴来风，也并非个例.请看下面的高考试题.

【例1】(2011年高考全国理综卷第25题)如图2，与水平面成45°角的平面MN将空间分成Ⅰ和Ⅱ两个区域.一质量为m,电荷量为q(q>0)的粒子以速度v0从平面MN上的P0点水平右射入Ⅰ区.粒子在Ⅰ区运动时，只受到大小不变、方向竖直向下的电场作用，电场强度大小为E；在Ⅱ区运动时，只受到匀强磁场的作用，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向里.求粒子首次从Ⅱ区离开时到出发点P0的距离.粒子的重力可以忽略.

图2

我们把此题的解答复制如图3，并在粒子进入磁场点P1和出磁场点P2添画了两条等势线(面)，可以发现此过程中没有任何外力对粒子做功，但粒子的电势能却无缘无故地改变了.如果粒子从P2点又进入电场，后又进入磁场，那么，这种“无缘无故”的电势能改变将一再重演.

图3

这是个例吗？怕不尽然，随手再拿一个例题.

【例2】(五所一级重点中学高三年级2010年4月份联考第23题)如图4所示(黑色部分)，整个xOy平面存在着垂直纸面向外的匀强磁场，其间有一宽度为d的斜向的,上下边界平行的匀强电场区域.电场方向和边界平行，且上边界过原点O.一质量为m，带电荷量为+q的粒子(重力不计)，以初速度v0从(0，L)点垂直y轴进入第一象限，恰垂直电场边界进入电场和磁场复合场区域，而且沿直线穿过该区域.之后粒子又经过磁场和复合场的偏转后，恰在原点O第二次穿越x轴.

(1)求磁感应强度B的大小；

(2)求粒子第二次从原点O穿越x轴时的速度；

(3)比较d与L的大小，并说明理由.

图4

本题给带电粒子设计的运动途径应该如图中虚线所示，似乎求解也没有什么问题，但大家有没有注意到(也确有部分考生在考场里就被这个问题搅得头昏脑胀),带电粒子从进入电场和磁场复合处到再次进入该区域的过程中，电场力和磁场力都没有对它做功，动能没有变化，但它的电势能也“无缘无故”地改变了，而且可以推定增加了2qEL(其中E代表电场强度)，即电场力要做功 -2qEL.

这些问题都出在过度理想化的电场、磁场界面.

3 关注更普遍的问题

理想化是中学物理教和学中处理问题的一种重要手段，没有它真的寸步难行，但一旦理想化成瘾，事情就走向另一个极端.比如,图1所反映的电场线，实际上应该与端面垂直，现在却任意斜交；图4中的电场，在那么长的距离上，丝毫不顾及边缘效应，导致极不合理的隐性结果出现.

类似地，两个不同的匀强电场或磁场是不是可以用一个理想的界面截然分开呢？我们来看一看图5所表示的情况.

两个匀强电场，强度不同，如图5(a).若可以用理想界面截然分开而并存，那么，按虚线途径移送电荷一圈，电场力做功将不为零，这显然是不可能的.

图5

图5(b)的匀强磁场，强度不同.如果可以用理想界面截然分开，那么,带电粒子做图示轨迹运动, 现对比一下粒子在左右磁场中的一些数据,如表1所示.

表1粒子在有理想化边界的两个匀强磁场中运动时各物理量的比较

磁场线速度动能圆运动半径对圆心转动惯量角速度以转动计动能角动量Bv12mv2rmr2ω12mr2ω2mr2ωnBv12mv2rnmr2n2nω12mr2ω2mr2ωn

我们往往只注意到由于洛伦兹力不做功，所以，它在两侧的线速度大小不变，符合功能关系；但没有注意到粒子的圆运动半径、周期变了，其角速度、角动量也变了，而粒子运动过程中,受到的磁场力总是指向圆心属于有心力，角动量应该是守恒的.同样，如果改换思路满足角动量守恒，则功能关系将被破坏，这是鱼和熊掌，不可兼得.所以,这样的磁场界面分隔两个匀强磁场，使之并存也是不可能的.从实际情况出发考虑，两个磁场靠近，应该有一个交融叠加的“城乡结合部”，而不可能有一道“柏林墙”把它们截然分开成两个不同的区域.

问题是这种理想化的、随意性极大的磁场界面，在考题和训练题中见得太多了，完全达到见怪不怪的程度，坦然面对，从容求解.至少可以说它已经“登堂”——进教辅，做练习题，进高考卷；只是尚未“入室”——还没有登陆教材.

以上分析希望引起大家的注意、讨论并提出相应的应对举措.