Quantales上的导子＊

肖旗梅，李庆国

（1.湖南大学数学与计量经济学院，湖南长沙 410082；2.长沙理工大学数学与计算科学学院，湖南长沙 410004）

Quantales上的导子＊

肖旗梅1，2†，李庆国1

（1.湖南大学数学与计量经济学院，湖南长沙 410082；2.长沙理工大学数学与计算科学学院，湖南长沙 410004）

在Quantales理论中引入导子的概念，探讨了Quantales中运算＆的性质，并研究了左（右，双）侧元导子的包含关系，最后讨论了简单导子的相应性质.

计算科学；Quantale；导子；左（右，双）侧元；子Quantale；理想；简单导子

Mulvey于1986年提出Quantale的概念［1］，其背景在于为量子力学提供新数学模型.文献［2］的出版使得Quantale理论在短短的20年间有了巨大的发展，大量新的观点和应用相继被揭示［3－6］，特别是Quantale理论在线性逻辑与计算科学方面的应用为该理论的发展提供了广阔的空间.

导子的概念被引入到素环［7］，BCI代数［8］以及格［9］等等，有助于研究各种代数系统的结构和性质.本文在Quantale中给出导子的定义，并研究其相关性质.

1 预备知识

先给出有关Quantale理论的基本概念［2］.

定义1 设Q为完备格，“＆”是Q上的二元运算.若∀a，b，c∈Q，∀｛bi｝⊆Q满足：

2）（a→lb）＆a≤b；

3）a≤b，c≤d⇒a＆c≤b＆d.

定义2 设Q是Quantale，a∈Q.若a＆1≤a（a＆1＝a），则称a是Q的右侧元（严格右侧元）.

若1 ＆a≤a（1 ＆a＝a），则称a是Q的左侧元（严格左侧元）；若a既是Q的（严格）左侧元又是（严格）右侧元，则称a是Q的（严格）双侧元；若a＆a＝a，则称a是Q的幂等元.

若Q中的任意元素都是（严格）左侧元（右侧元，双侧元，幂等元），则称Q是（严格）左侧（右侧，双侧，幂等）Quantale.

分别用R（Q），L（Q），T（Q）表示Q的左侧元，右侧元，双侧元全体；分别用SR（Q），SL（Q），ST（Q）表示Q的严格左侧元，严格右侧元，严格双侧全体.

定义3 设A，I是Quantale Q的非空子集.A称为Q的子Quantale，如果A对任意并和运算＆封闭.

I称为Q的右（左）理想，如果I满足：

1）｛ai｝⊆I⇒∨ai∈I；

2）∀a∈I，b∈Q⇒a＆b∈I（b＆a∈I）.I是Q的理想，则I既是右理想又是左理想.

定义4 称Quantale Q上的闭包算子（核算子）j为核映射（余核映射），满足∀a，b∈Q，j（a）＆j（b）≤j（a＆b）.若等号成立，则称j为严格核映射（余核映射）.

2 Quantales上的导子

定义5 Quantale Q上的映射d称为导子，若∀a，b∈Q，｛bi｝⊆Q，则有下面两式成立：

1）d（∨bi）＝∨d（bi）；

2）d（a＆b）＝（da＆b）∨（a＆db）.

例1 d是Quantale Q上的恒等映射，即dx＝x，∀x∈Q.显然d是导子，称恒等导子.

定理2 设d为Quantale Q上的导子，则∀a，b，c∈Q，有下列结论成立：

1）a≤b⇒da≤db；

2）c≤a→rb⇒c≤da→rdb，a≤dc→ldb；

3）b≤da→rd（a＆b），a≤db→ld（a＆b）；

4）a＆a＝a⇒a≤da→rda，a≤da→lda；

5）a→rb≤da→rdb，d（a→rb）≤a→rdb；

6）a→lb≤da→ldb，d（a→lb）≤a→ldb；

7）若Q有右（左）单位元e⇒a＆de≤da（de＆a≤da）；

8）若Q有右（左）单位元e且de＝e⇒a≤da，d1＝1；

9）若Q有右（左）单位元e且de＝e，则d（a＆1）＝da＆1（d（1 ＆a）＝1 ＆da）.

证 1）若a≤b，则由定义5有：db＝d（a∨b）＝da∨db⇒da≤db；

2）c≤a→rb⇒a＆c≤b，由导子定义和1）可得：d（a＆c）＝（da＆c）∨（a＆dc）≤db.故da＆c≤db，a＆dc≤db，从而有c≤da→rdb，a≤dc→ldb；

3），4）由导子定义易得；

5）由定理1有a＆（a→rb）≤b，由1）得d（a＆（a→rb））＝［da＆（a→rb）］∨［a＆d（a→rb）］≤db，故da＆（a→rb）≤db，a＆d（a→rb）≤db.从而a→rb≤da→rdb，d（a→rb）≤a→rdb；

6）证明与5）类似；

7）若e是右单位元，则有da＝d（a＆e）＝（da＆e）∨（a＆de），故a＆de≤da.同理de＆a≤da；

8）若e是右单位元且de＝e，有da＝d（a＆e）＝（da＆e）∨（a＆de）＝da∨a⇒a≤da，由此可得d1≥1，1是最大元，从而有d1＝1；

9）若e是右单位元，由8）可得：d（a＆1）＝（da＆1）∨（a＆d1）＝（da∨a）＆1＝da＆1.

定理3 设d为Quantale Q上的导子，则有：

1）d（R（Q））⊆R（Q）；

2）d（L（Q））⊆L（Q）；

3）d（T（Q））⊆T（Q）.

证 1）设y∈d（R（Q））⇒∃x∈R（Q），y＝d x.由x∈R（Q），得x＆1≤x，故y＝d x≥d（x＆1）＝（dx＆1）∨（x＆d1）≥dx＆1＝y＆1，由此可得y∈R（Q），故d（R（Q））⊆R（Q）；

2）证明与1）类似；

3）由1）和2）可得.

定理4 设d为Quantale Q上的导子，若Q有单位元e且de＝e，则

1）d SR（Q）⊆d（R（Q））⊆SR（Q）⊆R（Q）；

2）d SL（Q）⊆d（L（Q））⊆SL（Q）⊆L（Q）；

3）d ST（Q）⊆d T（Q）⊆ST（Q）⊆T（Q）.

证 1）设y∈d（R（Q）），则∃x∈R（Q），使得y＝dx.由x∈R（Q），有x＆1≤x，由定理2中1）有d（x＆1）≤dx.由定理1中3），可得dx＝d（x＆e）≤d（x＆1），故d（x＆1）＝dx.由定理2中9），有dx＆1＝dx，故y＝dx∈SR（Q）.从而d（R（Q））⊆SR（Q）.其他包含关系显然；

2）证明与1）类似；

3）由1）和2）可得.

显然，Quantale中的最大元1是双侧元，有单位元e的Quantale，最大元1是严格双侧元.所以由定理3和4可直接得到下面的推论.

推论1 设d为Quantale Q上的导子，则

1）d1是Q上的双侧元；

2）若Q有单位元e，则d1是Q的严格双侧元.

设d为Quantale Q上的导子，若Q中的元x满足d x＝x，称x为d的不动点.用Fd（Q）表示所有不动点的集合.

定理5 设d为Quantale Q上的导子，则Fd（Q）为Q的子Quantale.

证 设｛yi｝⊆Fd（Q），d（∨yi）＝∨dyi＝∨yi⇒∨yi∈Fd（Q）.

∀x，y∈Fd（Q），d（x＆y）＝（dx＆y）∨（x＆dy）＝x＆y⇒x＆y∈Fd（Q）.

3 Quantales上的简单导子

定理6 设a为交换Quantale Q的元，da：Q→Q定义为dax＝x＆a（∀x∈Q），则da为Q上的导子.

证 设｛yi｝⊆Q，有da（∨yi）＝（∨yi）＆a＝∨（yi＆a）＝∨dayi.

∀x，y∈Q，由Q交换和结合律，有da（x＆y）＝（x＆y）＆a＝［（x＆y）＆a］∨［（x＆y）＆a］＝［（x＆a）＆y］∨［x＆（y＆a）］＝（dax＆y）∨（x＆day）.本文称da为Quantale Q的简单导子，当a为单位元的时候，da为Q的恒等导子.在下文中出现的Quantale Q均为交换的.

定理7 da为Quantale Q的简单导子，则

1）若a是左（或右）侧元，则∀x∈Q，dax≤a；

2）若Q有左（或右）单位元e，则dae＝a；

3）若a，x是幂等元，则dax是幂等元；

4）若a是幂等元，则da是Q的自同态.

证 1）由a是左侧元，有dax＝x＆a≤T＆a≤a；

2）dae＝e＆a＝a；

3）由交换性和幂等性，得dax＆dax＝（x＆a）＆（x＆a）＝（x＆x）＆（a＆a）＝x＆a＝dax；

4）由交换性和幂等性，可得da（x＆y）＝（x＆y）＆a＝（x＆a）＆（y＆a）＝dax＆day.

定理8 设da为有右单位元e的Quantale Q的简单导子，若a是幂等元，则

1）当a＞e时，da为严格核映射；

2）当a＜e时，da为严格余核映射；

3）当a＝e时，da为严格（余）核映射.

证 ∀x，y∈Q，若x≤y，则有dax＝x＆a≤y＆a＝day.

da（dax）＝da（x＆a）＝（x＆a）＆a＝x＆（a＆a）＝x＆a＝dax.

由定理7，有da（x＆y）＝dax＆day；当a＞e时，dax＝x＆a＞x＆e＝x；当a＜e时，dax＝x＆a＜x＆e＝x；当a＝e时，dax＝x＆a＝x＆e＝x.故上述结论成立.

定理9 da为Quantale Q的简单导子，若a是幂等元，I是Q的左（右）理想，则daI是Q的左（右）理想且daI⊆I.

证 设｛yi｝⊆daI，∃xi∈I，yi＝daxi.I是左理想得∨xi∈I，故∨yi＝∨daxi＝da（∨xi）∈daI.

∀y∈daI，y＇∈Q，∃x∈I，y＝dax.由I是左理想，有y＇＆x∈I，故y＇＆y＝y＇＆dax＝y＇＆（x＆a）＝（y＇＆x）＆a∈daI，故daI是Q的左理想.

∀y∈daI，∃x∈I，y＝x＆a∈I，故daI⊆I.

由于Q交换，故对于右理想的情形结论也成立.

定理10 da为Quantale Q的简单导子，全体像的集合记为Im da＝｛y∈Q｜y＝x＆a，x∈Q｝，则Im da是Q的理想.

证 设｛yi｝⊆Im da，∃xi∈Q，yi＝daxi，故∨yi＝∨（xi＆a）＝（∨xi）＆a∈Im da.

∀y∈Im da，y＇∈Q，∃x∈Q，y＝x＆a，有y＇＆y＝y＇＆（x＆a）＝（y＇＆x）＆a∈Im da.Q是交换的，得y＆y＇＝（x＆a）＆y＇＝（x＆y＇）＆a∈Im da.

从而有Im da是Q的理想.

［1］ MULVEY C J.＆［J］.Suppl Rend Circ Nat Palermo，1986，12（2）：99－104.

［2］ ROSENTHAL K I.Quantales and their applications［M］.New York：Longman Scientific ＆Technical，1990.

［3］ PICADO J.The quantale of Galois connections［J］.Algebra Universalis，2004，52（4）：527－540.

［4］ 王顺钦，赵彬.Prequantale同余及其性质［J］.数学进展，2005，34（6）：746－752.

WANG Shun-qin，ZHAO Bin.Prequantale congruence and its properties［J］.Advances in Mathmatics，2005，34（6）：746－752.（In Chinese）

［5］ 赵彬，梁少辉.双Quantale模范畴［J］.数学学报，2009，52（4）：199－210.

ZHAO Bin，LIANG Shao-hui，The category of double Quantale modules［J］.Acta Mathematica Sinica，2009，52（4）：199－210.（In Chinese）

［6］ 周异辉，赵彬.对合Quantale范畴中的自由对象及其良幂性［J］.工程数学学报，2006，23（2）：216－224.

ZHOU Yi-hui，ZHAO Bin.The free objects in the category of involutive Quantales and its property of well-powered［J］.Chinese Journal of Engineering Mathematics，2006，23（2）：216－224.（In Chinese）

［7］ POSNER E.Derivations in prime rings［J］.Proceedings of A-merican Mathmatical Society，1957，8（6）：1093－1100.

［8］ JUN Y B，XIN X L.On derivations of BCI-algebras［J］.Information Sciences，2004，159：167－176.

［9］ XIN X L，LI T Y.On derivations of lattices［J］.Information Sciences，2008，178（2）：307－316.

Derivation of Quantales

XIAO Qi-mei1，2†，LI Qing－guo1

（1.College of Mathematics and Econometrics，Hunan Univ，Changsha，Hunan 410082，China；
2.School of Mathematics and Compute Science，Changsha Univ of Science and Technology，Changsha，Hunan 410004，China）

The concept of derivation was introduced into Quantale theory.Firstly，the properties of the operation ＆of Quantale and the inclusion relation of the derivations of left（right，both）-sided were studied.Lastly，the properties of simple derivation were investigated.

computer science；Quantale；derivation；left（right，both）-sided；subquantale；ideal；simple derivation

O153.1

A

1674-2974（2012）08-0087-03＊

2011-09-01

国家自然科学基金资助项目（11071061）

肖旗梅（1976—），女，湖南娄底人，湖南大学博士研究生，讲师

†通讯联系人，E-mail：qimeixiao＠sohu.com