密度算子的保真度的向量表示

张坤利, 曹怀信, 王 敏

(陕西师范大学 数学与信息科学学院, 陕西 西安 710062)

0 引 言

近年来, 量子信息光学引起了人们的极大兴趣, 保真度是量子光学和信息科学领域的一个重要概念, 它表示信息在传输过程中保持原来状态的程度, 并广泛应用于量子通讯和量子计算理论研究中. 随着量子信息和量子计算理论的不断发展和完善, 它的研究领域不断扩大, 对保真度的相关研究引起了来自不同领域学者的广泛关注. 文献[1]引入了量子信道的保真度测量, 并描述了信道保真度的性质, 讨论了信道保真度在量子信息科学方面的应用；文献[2]给出了Hilbert-Schmidt内积下N量子系统上的两个密度算子及纯态之间的信道保真度的二择一保真度定义, 定义了两个线性算子之间的算子保真度, 并证明了算子保真度除了一个规范化因子也满足所有的Jozsa′s四公理；文献[3]证明了N-态量子系统上的两个态之间的二择一保真度测量, 给出了这种保真度的几何解释, 并证明了当N=2时, 二择一保真度等价于Bures保真度. 算子理论是量子信息与计算的基础与工具, 也是泛函分析的核心内容. 在量子力学中, 不同的算子代表不同的物理量, 算子的不同代数运算, 意味着不同的物理规律, 所以研究算子之间的差异是必要的. 文献[2]给出了算子保真度的定义, 为研究算子差异提供了一个重要方法. 本文研究N维Hilbert空间H上密度算子的保真度的具体表示形式.

以下H表示H维Hilbert空间,B(H)表示H上所有有界线性算子之集.

1 算子保真度

对任意的A,B∈B(H), 定义内积为〈A,B〉=Tr(A+B) , 则得到B(H)上的一个内积.我们称这种内积为Hilbert-Schmidt内积. 由此导出的范数为

若A是Hilbert空间H上的一个半正定线性算子, 且满足Tr(A)=1, 则称A是H上的一个密度算子. 我们把H上的所有密度算子组成的集合记为D(H), 即

D(H)={A∈B(H)|Tr(A)=1,A≥0}

定义1[2]设A,B是Hilbert空间H上的任意两个非零线性算子, 则称

为A,B之间的保真度.

注当A,B∈D(H)时, 有

2 算子保真度的表示

引理1[3]任意一个N×N密度矩阵A都可以表示为

引理2任意一个形如A=A1⊗A2⊗……⊗AN的2N阶密度矩阵都可以表示为

其中I为2×2单位矩阵,σi(i=1,2,3)为Pauli矩阵,Ai(i=1,2,…,N)为二阶密度算子,

(σ⊗I⊗I⊗…⊗I)),i=1,2,3；

⋮

⋮

⋮

且

下面我们给出能用以上形式表示的密度算子的保真度的Bloch向量形式.

定理1设A,B是N×N阶密度矩阵，则它们之间的保真度可表示为

证明因为A，B是N×N阶密度算子，所以A，B可以表示为

Tr(λi)=0,Tr(λiλj)=2δij,i,j=1,2,…,N2-1.

从而有

故有

推论1当N=2时，A，B可表示为

则它们之间的保真度可表示为

推论2当N=3时，A，B为表示为

则它们之间的保真度为表示为

定理2设Ai,Bi(i=1,2,…,N)为二阶密度算子，

A=A1⊗A2⊗…⊗AN,B=B1⊗B2⊗…⊗BN,

则

证明由引理2可知，A和B可表示为

由于

Tr(I⊗I⊗…⊗I)=2N, Tr(I⊗σim⊗…⊗I)=0, Tr(I⊗σim⊗σin⊗…⊗I)=0,

Tr(σi1⊗σi2⊗…⊗σiN)=0,i=1,2,3;m≠n,m,n=1,2,…,N,

因此

从而

推论3设A=A1⊗A2,B=B1⊗B2为密度算子，A1，A2，B1，B2为二阶密度算子，则它们之间的保真度.

其中

⊗I)),i1=1,2,3；

对于任意两个密度矩阵，它们的保真度可以用Bloch向量和有限个矩阵表示，并且当N比较小时，它简化了算子保算度的计算.但是对于无限维的算子保真度有待进一步研究.

参考文献

[1] Maxim Raginsky. A fidelity measure for quantum channels[J]. Physics Letters A, 2001, 290: 11-18.

[2] WANG Xiao-guang, Yu Chang shui, Yi.X.X. An alternative quantum fidelity for mixed states of qudits[J]. Physics Letters A, 2008, 373:58-60.

[3] CHEN Jing-ling, FU Li-bin, Ungar Abraham A.,etal.. Alternative fidelity measure between two states of an N-state quantum system[J]. Physical Review A, 2002, 65(5): 543 041-543 043.

[4] MA Zhi-hao, ZHANG Fu-lin, CHEN Jing-ling. Fidelity induced distance measures for quantum states[J]. Physics Letters A, 2009, 373:3 407-3 409.

[5] 石名俊, 杜江峰, 朱栋培, 阮图南. 混合纠缠态的几何描述[J]. 物理学报, 2000, 49(10)：1 912-1 918.

[6] Agata Checinska, Krzysztof Wodkiewicz. Fidelity and entanglement breaking properties of qutrit channels[J]. Optics Communications, 2010, 283: 795-804.