声在随机介质波导中的传播

杨士莪

(哈尔滨工程大学 水声工程学院，黑龙江 哈尔滨 150001)

迄今为止，对于声在随机介质中传播起伏问题的研究，绝大部分仅限于无限介质的环境条件，很少有人讨论波导传播所可能附加的效应.而且除Rytov方法以外，所利用的数学工具，如Feynman所提出的路径积分等方法，多数工程技术人员也都很不熟悉［1-3］.为此，采用逐次近似方法讨论在波导条件下，声传播起伏的某些特点，将是有实际参考意义的.为了数学上的简便，文中将仅限于讨论点源声波在具有绝对软上边界，和半无限流体介质下边界的平面平行波导中的传播，且波导和下半空间中的介质总体均匀，其平均声速和密度分别为:c0、ρ0、c1、 ρ1，但上、下方介质中均具有随机的微弱不均匀起伏，这样将仍能反映出介质起伏对声信号传播的主要影响规律.

1 声场基本方程式

取直角坐标，令波导深度为H，声源位于z轴上深度为zs处，这时波导中及下方介质中声场势函数φ(0)(r)、φ(1)(r)应满足的微分方程式可分别写为

式中，Zn(z，x，y)为第n阶局地简正波，并应满足下列方程式与边界条件:

将Zn写为ε的幂级数，即

将此表示代入式(4)，按照ε的同幂次项进行整理后，可分别得到:

上述公式及今后为了书写简便起见，对φ、ψ、Z等函数，当其有关公式基本相同时，即省略各函数的肩标，而不再分别列出.已知对两层均匀介质的Pekeris波导有:

根据式(12)、(13)求解声场的一次近似时，可选用以下函数做为微分方程的2个线性独立解:

依照二阶微分方程求特解的方法，最后可得

其中:

Λn、Δn均为与随机量无关的确定性函数.由于原所选取的G1、G2均满足边界条件(11)，故可知上式给出的Zn1的解，也必然满足给定的边界条件.按照以上方法，可依次求得更高阶的近似，可以看出，Zn的各高阶近似，将相应的含有μ(x，y，x)的高幂次项.为简便，在此将仅考虑Zn的一阶近似.

2 信号起伏的时空相关函数

首先计算各ψn的近似值.根据耦合简正波方法，利用各阶简正波的正交性，忽略局地简正波空间变化的二阶小量，可得:

对于不存在随机不均匀体的两层液态介质波导来说，作为0阶近似有其中并满足上式右端为0的微分方程式.注意到，故上式等号右边的项可视为当波导中存在随机不均匀体时，引发声场水平势函数分量修正值的二次声源.同样将ψn展开写成ε的幂级数:

若仅考虑一阶近似，可得:

若需要计算ψn的更高阶近似，可依前述利用逐次近似法进行.当仅考虑一阶近似时，可得到波导中信号起伏值为

从上式中可以看出，由于波导中存在随机起伏的不均匀体，不仅各阶局地简正波有变化，且各阶势函数水平分量也有变化.需要注意的是:这时ψn与Zn均不是μ(x，y，z)的线性函数，因此即μ(x，y，z)服从0均值的Gauss分布规律，波导中信号起伏一般也不遵从Gauss规律，仅在一级近似条件下，可以近似的认为服从Gauss规律.

利用式(15)计算信号起伏的水平和垂直相关函数时，考虑到各不同阶简正波相互干涉，其空间平均值近似为0，因而可以仅计算相同阶简正波的结果;同时还可以考虑到，声场势函数水平分量的起伏，和介质起伏的空间梯度有关，而简正波的起伏则与介质起伏直接相关，因而可认为ψn1与Zn1相互独立，其统计平均值也可以忽略.从而得到如下公式:

设介质起伏的空间相关函数为

经过若干计算后可得:

1)波导中信号起伏的均方值:

2)波导中信号起伏的垂向相关系数:

3)波导中信号起伏的纵向相关系数:

4)波导中信号起伏的横向相关系数:

其中:

从上述各表达式可以看出，无论是波导中信号起伏的均方值，抑或是信号起伏的各项空间相关函数，都将和接收点与声源的相对位置有关.由于具体公式的复杂性，很难直接从解析公式中看出应有的规律，而需要利用数值计算进行分析讨论.由于篇幅的限制，具体的仿真计算结果，以及试验验证情况，将在后续文章中给出.

3 结论

文中介绍了一种利用逐次近似法，分析当介质环境存在微小扰动时，声在波导中远距离传播情况下的起伏方法.从有关计算过程中可以看出，由于波导中存在随机起伏的不均匀体，在声波传播过程中，不仅各阶局地简正波有变化，且各阶势函数水平分量也有变化.需要注意的是:这时ψn与Zn均不是μ(x，y，z)的线性函数，因此即或μ(x，y，z)服从0均值的Gauss分布规律，波导中信号起伏一般也不遵从Gauss规律，仅在介质起伏率甚小的一级近似条件下，可以近似的认为服从Gauss规律.随着传播距离的竲加，高阶简正波逐渐衰减，信号起伏的空间相关将会逐渐竲大，但具体的规律十分复杂，将在后继工作中借助数值分析进行讨论.

［1］YANG Shie.Theory of underwater sound propagation［M］.哈尔滨:哈尔滨工程大学出版社，2009.

［2］FLATTE S M.Sound transmission through a fluctuating ocean［M］.Cambridge:Cambridge University Press，1979.

［3］Ярощук И О，Гулин О Э.Метод статистичекого моделирования в зачах гидроакутики.Владивосток Дальнаука，2002.

［4］BERTSATOS I.General second-order covariance of Gaussian maximum likelihood estimates applied to passive source localization in fluctuating waveguides［J］.The Journal of Acoustical Society of America.2010，128(5):2635-2651.