把“根”锁住

汤小青

有这样一类问题：已知一个含参方程（函数），它的根（零点）在区间（a,b）上，求其中参数的取值范围.换言之，求出了参数的取值范围，即可把方程的根（函数的零点）牢牢地锁在区间（a,b）上，故我们把这类问题称为“锁根（零点）问题”.下面就来探讨一下如何把方程的根（函数的零点）锁住.

一、用f（a）·f（b）＜0锁根

已知函数y=f（x）在区间［a，b］上是单调函数，且它的图像是连续不断的一条曲线，若函数y=f（x）在（a，b）内有零点，则f（a）·f（b）＜0.利用这个结论，我们可以在已知方程（函数）在区间（a，b）内有根（零点）的前提下，解不等式，求参数的取值范围.

例1：若函数f（x）=ax-2（a≠0）的零点在区间（0，2）内，则实数a的取值范围是 .

分析：无论a＜0还是a＞0，若函数在区间（0，2）上有零点，都会有f（0）·f（2）＜0，解此不等式，即得实数a的取值范围.

解：依题意，可得f（0）·f（2）＜0，即-2（2a-2）＜0，即a-1＞0，解得a＞1.

所以，实数a的取值范围是（1，+∞）.

解法秀：利用f（a）·f（b）＜0锁零点，是建立在函数是单调函数的基础上的，因为一次函数在区间（a，b）内一定是单调函数，所以直接利用f（a）·f（b）＜0锁零点即可.

二、用函数性质锁根

对于二次函数，这个我们比较熟悉的函数，可以借助它的对称性、单调性、开口方向等性质锁定其零点.

例2：已知函数f（x）=x+2x-m有两个小于1的不同零点，求m的取值范围.

分析：因为函数f（x）=x+2x-m图像的对称轴为直线x=-1，所以它的两个小于1的零点应分别在（-∞，-1）和（-1，1）内，故只需利用f（a）·f（b）＜0锁定较大的零点即可.

解：因为函数f（x）=x+2x-m图像的对称轴为直线x=-1，所以要使函数有两个小于1的不同零点，只需f（-1）=-1-m＜0f（1）=3-m＞0，解得-1＜m＜3，即m的取值范围是（-1，3）.

解法秀：两个不同零点都小于某个数k，即两个零点都在区间（-∞，k）内，只要锁定了较大的零点，较小的零点也就被锁在区间（-∞，k）上了.本题是利用函数与不等式锁定方程的根问题，其中，函数的主要作用是提供图像，直观确定m应满足的条件，不等式的主要作用就是求出m的取值范围.一般地，锁定二次函数的零点（方程的根）问题需考查以下三方面：根的判别式△、对称轴、区间端点函数值的符号.对于某些锁根问题，也可只考虑其中的两方面或一方面.至于应该考查几方面，观察图像便可一目了然.

三、用函数图像锁根

对于由基本初等函数构成的函数（方程），我们可借助相关函数的图像锁定其零点.

例3：若方程logx-=0（a＞0，且a≠1）的根在区间（0，1）内，则a的取值范围是 .

分析：因本题中的函数不再是二次函数，显然不能再用上面的方法解答，鉴于a的情况只有两种：0＜a＜1，a＞1，故考虑借助函数图像直观确定.

解：如图1，在同一坐标系中，分别作出函数y=、y=logx（0＜a＜1）、y=logx（a＞1）的图像.观察图像，可得只有当0＜a＜1时，函数y=logx和y=的图像的交点的横坐标在区间（0，1）内，即方程logx-=0（a＞0，且a≠1）的根在区间（0，1）内.所以a的取值范围是（0，1）.

解法秀：当函数的单调性不易判定时，我们不能贸然用f（a）·f（b）＜0锁根，可借助函数图像解答.