涡流阵列传感器半解析模型的直接FFT构建方法*

丁 华，何宇廷，杜金强，张海威，伍黎明

(空军工程大学工程学院，西安710038)

对传统涡流传感器的阵列化构造技术作为一个新兴分支已逐渐成为涡流无损检测技术和结构健康监测技术中的研究重点。阵列化构造技术不仅能够实现对传统涡流检测技术在检测空间上的微观拓展，提高其检测灵敏度，而且也能够实现在检测空间上的宏观拓展，提高其检测速度。目前，涡流阵列传感器已逐渐应用于蒸汽管道广布微裂纹、核反应堆壳体裂纹、高温部件表面裂纹、管棒条型材、大面积金属曲面裂纹的无损检测和在线监测等领域[1－8]。

在涡流阵列传感器技术研究中，传感器正向模型和逆向模型的建立是非常重要的部分，其是传感器结构设计和参数优化的基础。同国外相比，国内目前对涡流阵列传感器技术中的模型研究并不多，同时建立的阵列物理模型还只是将传统单线圈物理模型进行简单的合并，正向模型和逆向模型还只是侧重于通过有限元方法进行纯数值分析[9－11]。而国外研究者在阵列传感器结构物理模型和正向、逆向解析或数值模型研究等方面进行了很多的理论和技术创新[12－13]，其中又以 MWM(meandering winding magnetometer)为代表[14－15]。在结构设计上，MWM是一种柔性平面涡流阵列传感器，由单个激励线圈和多个感应单元构成，感应单元可以是传统的线圈也可以是GMR(Giant magnetoresistive)传感元;在正向、逆向模型研究上，MWM的平面化设计使研究的电磁场量空间从三维空间降低到二维平面空间，解析模型构建的难度大大降低，而同数值法相比，解析法在逆向模型的构建上具有相当大的优势。

在Yanko Sheiretov[16]的研究基础之上，本文针对MWM技术体系的一类分布式激励源涡流阵列传感器的半解析模型展开研究，提出了该传感器半解析模型的直接FFT(Fast Fourier Transform)构建方法。该构建方法简化了该分布式激励源涡流阵列传感器半解析模型的构建过程，同时也提高了建模精度，为后续传感器的结构改进和参数优化设计奠定基础。

1 分布式激励源涡流阵列传感器

分布式激励源涡流阵列传感器的概念首先由James R.Melcher提出并经 N.J.Goldfine[17]等人得到发展。图1和图2为分布式激励源涡流阵列传感器的几何结构示意图和激励源电流大小分布图[16]。

图1 分布式激励源涡流阵列传感器的几何结构示意图

图2 激励源大小和方向分布图

图1中，传感器由在y向上等间距隔开的多直导线组成，相邻导线间距为h，在y向总宽度为L。在传感器导线中通激励电流，激励电流的大小和方向如图2所示，即激励电流满足正弦包线分布，Iz(y)表示电流沿z向流动，大小和方向随y向变化。图1中，由于传感器导线厚度较小，将传感器简化成平面，传感器下方为空气，上方为被测金属结构，其磁导率为μ，电导率为σ。激励源正弦包线分布设计的目的在于提高激励源所产生的激励场的主波长，从而减低激励场向外扩散的衰减速率，提高传感器的检测深度。由Maxwell微分方程组同时不考虑位移电流因素(激励频率小于10 MHz)可推得磁矢A的空间扩散方程[18]

在图1中，导线电流沿z向流动，则空间中磁矢只存在z分量，通过分离变量法，可得在各向同性层状介质空间内磁矢A的解析通解[19]

其中 ky=2nπ/λ，n=1，2，…，Az0，n和 AzΔ，n为层状空间上下界面处磁矢A的傅里叶变换系数，λ为激励场空间分布主波长，Δ为介质层的厚度。由式(2)可知，主波长λ越大则激励场在场量空间上的衰减速率就越慢。

图3是宽度为L的分布式激励源涡流阵列传感器在x=0界面处的激励电流正弦变换的频谱图，q是波数。由图3可知，该类型的传感器具有0.837L的主波长，即采取图2所示的分布式激励源可在空间得到与激励源几何分布尺寸相近的激励场空间分布主波长。同其它类型的阵列传感器相比，该类型的传感器在测量深度裂纹上具有较大优势[16]。

图3 宽度为L的分布式激励源正弦变换频谱图

2 传感器半解析模型的直接FFT构建

针对分布式激励源涡流阵列传感器的半解析模型构建问题，Yanko Sheiretov首先通过卷积运算得到传感器在x=0界面处的线电流密度正弦变换解析解，通过离散化得到线电流密度的傅里叶变换系数离散值;然后根据层状介质空间上下界面处场量的傅里叶变换系数传递关系矩阵，并使用洛伦兹因子来等效激励源导线宽度对傅里叶变换系数的影响得到x=0界面处场量的傅里叶变换系数;最后通过反FFT变换得到x=0界面处场量的空间分布图。在整个半解析建模过程中，不仅建模过程较为复杂，而且通过分析模型结果，发现其使用洛伦兹因子来等效激励源导线宽度对模型影响的做法导致激励源导线内部的线电流密度分布与实际情况不符。本文通过直接对传感器在x=0界面处线电流密度进行虚拟采样，而后通过FFT和反FFT得到x=0界面处场量的空间分布，不仅简化了半解析模型的建模过程而且也将导线宽度直接考虑在模型之中。

2.1 传感器x=0界面处线电流密度虚拟采样及其FFT

设分布式激励源涡流阵列传感器的宽度为L，第m个激励源导线中心坐标为ym，h=L/16，激励源所满足的正弦包线幅值为Id，激励源导线宽度为W。第m个激励源导线中的线电流密度分布满足

即在传感器宽度范围内，线电流密度满足式(4)，在传感器宽度范围之外和激励源间隔内的线电流密度为0。根据线电流密度的分布规律通过离散化和数值方法可以得到传感器在x=0界面处线电流密度的傅里叶变换系数 Kz，n(x=0)。

2.2 层状介质空间中场量傅里叶变换系数传递关系矩阵

考虑如图4所示的层状介质空间，其中AzΔ，n和Az0，n分别是层状介质空间上下界面处磁矢Az的傅里叶变换系数，HzΔ，n和 Hz0，n分别是上下界面处 y 向磁场强度 Hy的傅里叶变换系数，BxΔ，n和分别 Bx0，n是上下界面处x向磁感应强度Bx的傅里叶变换系数，Δ为层状介质空间厚度。

图4 层状介质空间示意图

由式(2)并根据B=▽×A，可得

则层状介质空间中上下界面处磁矢Az和y向磁场强度Hy、x向磁感应强度Bx的傅里叶变换系数传递关系矩阵为

2.3 磁感应强度Bx的反FFT求解

考虑一简化情况，即将分布式激励源涡流阵列传感器置于空气中(假定空气中的电磁参数与真空相同)，针对传感器上方与下方的空气层，其介质层厚度Δ为无穷大，式(6)简化为

式中，μa是真空磁导率。在x=0界面处的电磁场量满足边界条件

综合上述式(8)、式(9)和式(10)，x=0界面处的磁感应强度的傅里叶变换系数Bx，n(x=0)与该界面处线电流密度的傅里叶变换系数Kz，n(x=0)存在如下关系

则由 2.1 节中 Kz，n(x=0)可求得 Bx，n(x=0)，通过反FFT变换即可得到x=0界面处磁感应强度Bx(x=0)的空间分布，同时根据磁场强度和磁感应强度之间的本构关系也可得到磁场强度Hx(x=0)的空间分布。

2.4 模型结果分析

设分布式激励源涡流阵列传感器的宽度L=0.05 m，相邻激励源导线间距h=L/16，正弦包线幅值Id=1 A，激励源宽度W=L/256，采样点数N=1 024×32，将传感器置于空气中。图5为经反FFT后得到的磁场强度Hx(x=0)空间分布图。

图5 Hx(x=0)分布图

为验证建立的半解析模型准确性，同时考虑将分布式激励源涡流阵列传感器放置于空气中的简化情况，本文使用经典电磁理论计算传感器中心处磁感应强度大小并与半解析模型分析结果相比较。

传感器中激励源导线z向长度相对于传感器总宽度L在数量级上要大很多，可以将激励源导线简化为无限长直导线。根据安培定律，无限长直导线电流I在真空中所产生的磁感应强度满足[20]

式中，r是空间场强点到直导线的垂直距离。对于分布式激励源涡流阵列传感器，激励源宽度W同传感器宽度L相比可忽略不计，则其传感器中心处的磁感应强度Bx(x=0，y=0)为

在图5中，传感器中心处的磁感应强度为168.1μa，两者几乎相等，验证了本文提出的半解析模型的准确性。

在文献[17]中，Yanko Sheiretov在半解析模型推导过程中使用洛伦兹因子来等效激励源导线宽度。图6为使用洛伦兹因子后重新反FFT变换后得到的某个激励源在其宽度范围之内的线电流密度分布。而实际上，在低频激励下，导线内部线电流密度应该是均匀分布，即使在高频激励所导致的集服效应的影响下，导线内部的线电流密度也应该是中间小，两边大。

图6 激励源线电流密度分布

3 模型仿真应用

在涡流阵列传感器应用领域，传感器与被测试件之间提离距离和被测试件电导率的变化可以用来表征被测试件结构微观完整性的变化情况，如被测试件表面点蚀的有无、深浅或是其表面微裂纹的萌生、扩展等。针对本文所研究的分布式激励源涡流阵列传感器，图7为其一种简单的应用物理模型，以Bx(x=0，y=0)为特征量，通过本文建立的半解析模型，建立提离距离、被测试件电导率同Bx(x=0，y=0)特征量的相互关系。

图7中，Δ1为提离距离，Δ2为被测试件厚度，Δ3为空气层厚度。

图7 分布式激励源涡流阵列传感器应用物理模型

设置传感器外形参数同2.2节，被测试件厚度Δ2为0.002 m，空气层厚度Δ3为无穷大，激励频率为1 MHz。根据建立的半解析模型，图8为Hx(x=0，y=0)随Δ1和σ变化的三维图。

图8 Hx(x=0，y=0)随提离距离和电导率变化的三维图

分析图8结果可知，相比于将传感器置于空气中，被测试件上的涡流场对空间磁场的扰动作用很大，不仅大大降低了Hx(x=0，y=0)的幅值而且还会改变其相位。本节所述的应用模型只考虑Hx(x=0，y=0)处的单特征量，对应与单传感元的设计，通过在z向上放置多个磁场传感元(GMR传感元等)可以很容易实现阵列化设计。

4 结论

本文针对MWM技术体系的一类分布式激励源涡流阵列传感器的半解析模型展开研究，提出了传感器半解析模型的直接FFT构建方法。

(1)分布式激励源涡流阵列传感器能够在空间中激励出主波长同其几何分布尺寸相近的激励场。同其它传感器阵列化构造化技术相比，其主波长要大的多，从而降低激励场在场量空间中的衰减速率，提高了传感器检测深度裂纹的能力。

(2)在Yanko Sheiretov基础之上，提出了分布式激励源涡流阵列传感器半解析模型的直接FFT构建方法。建模过程和数值计算结果表明运用此方法不仅简化了半解析模型的建立过程，而且直接将激励源导线宽度考虑在建模过程之中，提高了建模精度。

(3)分布式激励源涡流阵列传感器对其周围介质空间的电磁属性，如电导率等较为敏感，结合该传感器可以检测深度裂纹的能力以及对周围介质空间电磁属性的敏感性，可望将该类型的传感器运用于金属结构的在线监测之中。

[1]Renato Gracin.Advanced Eddy Currents System for Inspection of VVER Steam Generator Tubing[C]//7th international Conference on Nuclear Option in Countries with Small and Medium Electricity Grids，Dubrovnik，Croatia，2008.

[2]Mitsuru Uesaka，Kazumi Hakuta.Eddy-Current Testing by Flexible Microloop Magnetic Sensor Array[J].IEEE Trans on Magnetics，1998，34(4):2287－2297.

[3]Yanko Sheiretov，Dave Grundy.MWM-Array Sensors for In Situ Monitoring of High-Temperature Components in Power Plants[J].IEEE Sensors Journal，2009，9(11):1527－1536.

[4]Joubert P Y，Le Bihan Y.Multi Sensor Probe and Defect Classificationin Eddy Current tubing Inspection[J].Sensors and Actuators A:Physical，2006，129(1－2):10－14.

[5]丁天怀，陈祥林.电涡流传感器阵列测试技术[J].测试技术学报，2006，20(1):1－5.

[6]杨宾峰，罗飞路，曹雄恒，等.脉动涡流腐蚀成像阵列传感器应用研究[J].传感技术学报，2005，18(1):112－115.

[7]刘波，罗飞路，侯良洁.平板表层缺陷检测涡流阵列传感器的设计[J].传感技术学报，2011，24(5):679－683.

[8]楼敏珠，郭韵.基于涡流阵列传感器的高强度螺栓扫描检测成像系统设计[J].无损检测，2009，31(6):485－487.

[9]刘波，罗飞路.多激励涡流阵列探头阻抗分析[J].中国电机工程学报，2010，30(18):122－126.

[10]何永勃，邵雨果.阵列涡流传感器互感信息三围有限元仿真[J].中国民航大学学报，2010，28(1):29－32.

[11]赵冬明.阵列传感器下金属板中缺陷扰动的磁场量分布研究[D].长沙:国防科学技术大学，2004.

[12]Zaoui A，Feliachi M，Doirat V，et al.A Fast 3D Modeling of Arrayed Eddy Current Sensor[C]//12th Biennial IEEE Conference on Electromagnetic Fields Computation，Miami，USA，2006.

[13]Z Tae-Ok Kima，Gil-Seung Leea.Modeling of Eddy Current Sensor Using Geometric and Electromagnetic Data[C]//Journal of Mechanical Science and Technology，2007，21:465－475.

[14]Vladimir Zilberstein，DarrellSchlicker.MWM EddyCurrent Sensors for Monitoring of Crack Initiation and Growth During Fatigue Tests and in Service[J].International Journal of Fatigue，2001，23:S477－S485.

[15]Vladimir Zilberstein，Karen Walrath.MWM Eddy-Current Arrays for Crack Initiation and Growth Monitoring[J].International Journal of Fatigue，2003，25:S1147－S1155.

[16]Yanko Sheiretov.Deep Penetration Magnetoquasistatic Sensors[D].Cambridge，MA，USA:Massachusetts Institute of Technology，2001.

[17]Goldfine N J，Washabaugh A，Schlicker D E.High Resolution Inductive Array Imaging of Buried Objects[C]//SPIE AeroSense 2000，Orlando，Fl，2000.

[18]范孟豹.多层导电结构电涡流检测的解析建模研究[D].杭州:浙江大学，2009.

[19]James R Melcher.Continuum Electromechanics[M].Cambridge，MA:MIT Press，1981:2.32－2.33

[20]毛均杰，何建国.电磁场理论[M].长沙:国防科学技术大学出版社，1998:61.