峰值电流模式非理想Boost 变换器建模*

李 军，张 章，杨依忠，解光军

(合肥工业大学电子科学与应用物理学院，合肥 230009)

随着变换器技术的发展，以往理想化建模会产生严重的偏差;因此建模时，必须考虑电感电流的纹波和开关器件的寄生参数，通过开关元件平均法、时间平均等效电路法、能量守恒法的基本思想，就可以建立非理想变换器的小信号等效电路模型［1－2］。而峰值电流控制的主要优点是良好的动态响应和线性电压调整能力，较好的系统稳定性和可靠性。

1 非理想Boost 变换器等效电路

对于基本的Boost 变换器，考虑其非理想寄生参数的等效电路如图1所示［3］，其中功率开关MOSFET 等效为理想开关和导通电阻Ron的串联，二极管等效为理想开关、正向压降VF、导通电阻RF的串联，RL、Rc分别是滤波电感、滤波电容的等效串联电阻(ESR)。令开关S 的开关周期为Ts，导通时间为Ton，则占空比d=Ton/Ts。

图1 考虑寄生参数的非理想Boost 变换器等效电路

考虑纹波影响，根据能量守恒原理将两个开关的寄生参数等效到电感支路中，得到三个寄生电阻在电感支路中的总等效电阻

图2 CCM模式下非理想Boost 变换器的交流小信号模型

对图2所示的交流小信号等效电路，对各参数进行s 域变换，可计算出各传递函数为:

(1)输出电压^uo(s)对输入电压^ug(s)的传递函数Gug(s):

(2)输出电压^uo(s)对控制变量^d(s)的传递函数Gud(s):

(3)电感电流^iL(s)对输入电压^ug(s)的传递函数Gig(s):

(4)电感电流^iL(s)对控制变量^d(s)的传递函数Gid(s):

其中:Ri=RE+R(1－D)2+s［L+(R +RC)REC+RRCC·(1－D)］+s2(R+RC)LC。

2 峰值电流控制器的精确模型

本文研究考虑斜坡补偿和电感电流纹波影响的峰值电流控制器的精确模型［8－9］，由于通常所建立的模型忽略电感电流纹波和斜率补偿电路，只适用于电感电流和斜坡补偿电流纹波较小的场合，因此本文研究的电路模型适用于电感电流纹波较大，存在斜坡补偿［10］的场合，具有更高的精度。峰值电流模式Boost 变换器如图3所示。

由图4所示为电感电流iL(t)和电流内环控制电流iC(t)以及斜坡补偿的波形。由其相互关系可知，在整个开关周期内，电感电流的平均值为:

图3 峰值电流模式Boost 变换器控制系统

图4 电感电流平均值与控制电流波形及其相互关系

对各变量分离扰动，使各变量等于对应的直流分量与交流小信号分量之和，令:

由于mC由控制电路决定，因此其扰动量可以忽略不计，即mC=MC，将式(7)代入式(6)中，去除直流分量，并忽略高阶微小量，可以得到电感电流平均值扰动量^iL(t)的表达式为:

对于Boost 变换器，有:

且稳态时M1D=M2D′，由式(8)可得到^d(t)的表达式为:

即

式(11)中，Fg、Fu分别表示输入、输出电压扰动量对占空比的影响系数，可以看出，占空比d(t)受控制量iC(t)、电感电流iL(t)、输入电压ug(t)和输入电压uo(t)等各个变量的共同控制，因此，输入电压的扰动量^ug(t)的变化直接反映到占空比的扰动量^d(t)上，从而使得峰值电流模式控制Boost 变换器具有对输入电压的动态响应速度快、线性电压调整率好的优点。

由于在上述讨论中，^iL(t)表示电感电流平均值的扰动量，而不是电感电流峰值的扰动量，因此在研究峰值电流模式控制Boost 变换器的动态行为时，可以在上节建立的CCM模式下非理想Boost变换器的交流小信号等效电路模型的基础上，建立峰值电流模式控制Boost 变换器包含电流控制环的等效功率级的交流小信号等效电路模型，如图5所示。

图5 峰值电流模式控制Boost 变换器交流小信号等效电路模型

基于图5所示的交流小信号等效电路，并对各参数进行s 域变换，可以写出电感电流平均值扰动量^iL(t)和输出电压扰动量^uo(t)与输入电压扰动量^ug

(t)和占空比扰动量^d(t)及输出电流之间的线性关系为:

又

再将式(15)代入式(13)中，可得:

其中，Guc(s)为峰值电流模式控制Boost 变换器等效功率级的传递函数:

其中:

A(s)为峰值电流模式控制Boost 变换器等效功率级的音频衰减率:

考虑电流环路的电流采样行为对电路的影响，本文取电流采样函数:

其中wn=π/Ts，QZ=－2/π。则电流环路的环路增益为:Ti(s)=FmGid(s)He(s)，由于电流环路的增益非常小，故峰值电流模式控制变成了电压模式控制。

图3所示峰值电流模式Boost 变换器控制系统的电压控制器，其峰值电流模式控制Boost 变换器的输出电压为:

其中Tv(s)为电压环路的环路增益，即系统的开环传递函数Tv(s)=HC(s)GC(s)GUC(s)=GU(s)GUC(s)，则得到相应的闭环传递函数为:

闭环输入音频衰减率为:

3 分析及仿真

本文选用的实际Boost 变换器各参数为Ug=5 V，Uo=10 V，电感电流纹波ΔiL=0.1 A，R=10Ω，L=127μH，RL=0.66Ω，C=464μF，Rc=0.009Ω，开关功率管的导通电阻Ron=0.055Ω，肖特基二极管RF=0.025Ω，VF=0.4 V，开关频率fs=50 kHz，本文采用的电压采样网络的传递函数HC(s)=1。

当无补偿传递函数时，传递函数GU(s)=1，则此时系统开环传递函数Tv(s)为:

由式(22)可以看出，无电压控制器补偿时系统开环传递函数Tv(s)即为等效功率级传递函数Guc(s)，此时穿越频率fc=wc/2π=792 Hz，相位裕度φm=108.3°，因此存在着穿越频率太低，系统响应速度很慢，相位裕度过大，影响系统动态性能等问题，必须要设计电压控制器进行补偿。

无电压控制器补偿时，穿越频率过低，因此需要提高穿越频率，设加入电压控制器后开环传递函数

Tv(s)的穿越频率fC是开关频率fs的五分之一，即:

由于PID 补偿器有提高系统的稳态性能和提高系统动态性能的优点，因此本文采用的电压控制器如图6所示。

图6 电压控制器

该PID 补偿网络的传递函数为

此时，系统开环传递函数即为:

令式(24)中wp3=wz1，抵消输出电容ESR 引起的零点。设补偿后相位裕度φm=45°，则补偿器零、极点频率为

本文取fz4=1.11 kHz，当频率为穿越频率fC时，开环传递函数Tv(s)的幅频特性为0 dB，可得Gv0=2.396×105，因此，系统开环传递函数为:

由式(25)可取:R3=4 kΩ，C3=10 nF，R1=2 kΩ，C1=10 nF，R2=12 kΩ，C2=2 nF，RC=1Ω，R4=200Ω。

则实际系统开环传递函数为:

由式(26)可以求得，系统开环传递函数的穿越频率fc=wc/2π=8.06 kHz，相位裕度φm=49.6°，穿越频率和相位裕度都得到了较理想的值，基本满足设计要求。

通过MATLAB 编程，得出系统相应的仿真图形如图7～图10所示，其中:图7 系统的开环传递函数和系统的闭环传递函数;图8为补偿前后，系统开环传递函数;图9为理想和非理想情况下，等效功率级的传递函数;图10为补偿前后，系统音频衰减率传递函数。

图7 系统开环传递函数和闭环传递函数的频率响应曲线(实线为闭环传递函数，虚线为开环传递函数)

图8 补偿前后系统开环传递函数的频率响应曲线(实线为补偿后，虚线为补偿前)

图9 理想和非理想情况下系统等效功率级传递函数的频率响应曲线(实线为非理想情况，虚线为理想情况)

图10 补偿前后系统音频衰减率的频率响应曲线数(实线为补偿后，虚线为补偿前)

4 结论

通过MATLAB 编程进行仿真，可以看出在加入电压控制器后，系统有了合理的穿越频率，且大大减小了系统在低频段的稳态误差;考虑了非理想因素后，通过Boost 等效功率级的传递函数的比较，发现理想模型和非理想模型稍有差别。因此，本文建立的非理想Boost 变换器在峰值电流控制下的精确模型及其电压控制器的设计是合理的，这为以后深入研究环路的稳定性提供了依据。

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