基于凸组合的同步长最大均方权值偏差自适应滤波算法

芮国胜，苗俊，张洋，王林

(1.海军航空工程学院 电子信息工程系，山东 烟台 264001；2.海军航空工程学院 研究生管理大队，山东 烟台 264001)

1 引言

系数比例自适应(PNLMS, proportionate NLMS)算法[1～3]是近年来发展起来的一种快速收敛算法。该算法在处理稀疏特性信道时具有较快的收敛速度，其收敛性能优于传统的NLMS滤波器，但在处理非稀疏特性信道时，与NLMS算法相比其收敛速度较慢。为此，文献[4]提出了一种IPNLMS算法改善了这种情况下的收敛速度，但它需要预先确定一个决定算法的行为参数，给实际应用带来不便。当信道冲激响应为时变时（如电话会议中的声学回声消除器[2]，微波通信信道的均衡等），IPNLMS算法性能急剧下降，其实用性大打折扣。针对这一情况，本文基于滤波器的凸组合的思想[5～7]，提出了一种同步长的NLMS和PNLMS凸组合算法。该算法是基于每步迭代中，使得均方权值偏差(MSD, mean square deviation)的下降达到最大，提高了算法的收敛速度及其在时变信道环境下的跟踪性能。为了保证系统的稳态性能、减少系统的失调，NLMS滤波器步长应与PNLMS滤波器步长保持一致。仿真结果表明：该算法具有良好的收敛性能和跟踪性能，具有实用价值。

2 组合滤波器算法

组合滤波器的原理如图1所示。

图1 组合滤波器的原理

图1中，ω1(n)、ω2(n)、ω0(n)分别为PNLMS滤波器、NLMS滤波器和未知系统的权向量；y1(n)、y2(n)分别为2个滤波器的输出；e1(n)、e2(n)分别为2个滤波器产生的误差；λ(n)为组合算法的组合系数；y(n)为整个滤波器的等效输出；e(n)为滤波器等效误差，滤波器的长度为L。

算法采用2个同步长的PNLMS滤波器、NLMS滤波器的并联凸组合形式，其核心思想在于：PNLMS滤波器能保证处理稀疏冲激响应时的快速特性；而另一个NLMS滤波器则保证处理非稀疏冲激响应时的优良特性，滤波器组可根据均方权值偏差MSD大小设定不同的组合参数 λ(n)的值，并以此调整2个滤波器的权重，使其根据信道环境变化发挥不同滤波器的优势。

组合算法采用PNLMS滤波器和NLMS滤波器凸组合的方式得到等价权值向量：

其中，组合系数λ(n)∈(0,1)，并定义其取值函数为

由此可得等价输出项与误差项的表达式：

组合系数λ(n)中的参数a(n)通过使整个自适应滤波器的均方权值偏差MSD下降最大为自适应准则，则a(n)的更新式（见附录1）为

需要注意的是，a( n)∈[-a+,a+]，以保证λ(n )∈[1-λ+,λ+]，其中，λ+=sgm(a+)是接近于1的常数，即

其中，ε为一个很小的正常数。

3 组合滤波器算法的均方性能分析

在进行算法性能分析前，首先提出如下假设[5]。

1) 期望响应d(n)与输入向量x(n)间符合如下线性衰减模型：

其中，ω0为长度为M的未知权向量；e0(n)为方差为的独立建模观测噪声。

2) 初始权向量ω1(0)、ω2(0)与初始参数a(0)对于任意n值独立于{x(n),d(n),e0(n)}。

3) E[x(n)]=0，E[x(n)xT(n)]=R，E[d(n)]=0，E[e0(n)]=0。

4) 步长µ和e(n)，x(n)，v(n)均相互独立。

5) 输入信号是平稳随机信号，║x(n)║2可用来估计。

为了讨论方便，现分别对单个滤波器与组合后的滤波器定义如下符号与附加参数值。

1) 滤波器的权向量误差项为

2) 先验误差项为

3) 后验误差项为

滤波器的性能通常用额外均方误差(EMSE)来衡量，将它定义为滤波器在工作过程中除最小均方误差外的额外误差项。分析算法的稳定性能时，通常假设学习迭代次数n取其极限值∞，由于误差项e(n)满足如下表达式：

因此，各滤波器的EMSE可由下式得到：

同时为分析凸组合后系统性能，定义基于先验误差项的交叉EMSE表达式如式(14)所示：

由定义式(14)与Cauchy-Schwartz不等式可得出如下结论：交叉项EMSE不会同时高于单个滤波器的EMSE。即

3.1 组合滤波器的稳态EMSE

组合滤波器的误差项e(n)，可由式(3)减去d(n)得到：

其中，ei=d(n)–yi(n)。同理，得到组合滤波器的先验误差项ea(n)：

组合参数λ(n)和局部滤波器的先验误差交叉项的出现，以及更新参数a(n)在λ(n)中是非线性的，使得式(18)难以准确估计。但存在如下2种情况，使得Jex(∞)可被简化估计。

由此不难得出如下结论，不管在什么样的条件，检测稳态值E{a(n)}是否趋于某个常数是很重要的，接下来将对组合参数的稳态性能进行分析。

3.2 组合参数的稳态性能分析

组合参数a(n)的更新式为式(5)，对等式的两边取期望：

需要注意的是，对式(5)取期望并对算子进行取值限定，因而是一个近似式。这种近似是合理的，因为a(n)在被限定之前，大于a+或小于-a+是有可能的，为了使a(n)更加接近±a+，缩小因子λ(n)[1-λ(n)]就显得尤为重要。

将式(21)转化为组合参数的先验误差形式（见附录2）：

假设：稳态时λ(n)独立于2个滤波器的先验误差，则当n→∞，由式(22)得到：

其中，ΔJi=Jex,i(∞)-Jex,12(∞),i=1,2表示单个滤波器的EMSE与交叉EMSE的相差程度。

从式(23)中可以看出，E{a(n)}的极限值依赖于ΔJi, i=1,2的值。由式(14)可知这2个值不可能同时都小于零，考虑以下这3种情况：

情况1 如果Jex,1(∞)≤Jex,12(∞)≤Jex,2(∞)，那么ΔJ1≤0,ΔJ2≥0。因为λ(n)∈[1-λ+,λ+]，那么E{λ(n)[1-λ(n )]2}和E{λ(n)2[1-λ(n)]}均小于λ+(1-λ+)2。则可得：

当n→∞时，

其中，C =λ+(1-λ+)2(ΔJ2-ΔJ1)为一正常数。因此，对于式(21)的唯一有效极限点为a(∞)=a+，则有

情况2 如果Jex,1(∞)≥Jex,12(∞)≥Jex,2(∞)，那么ΔJ1≥0,ΔJ2≤0。同理得：

当n→∞时，

其中，C =λ+(1-λ+)2(ΔJ1-ΔJ2)为一正常数。因此，对于式(21)的唯一有效极限点为a(∞)=-a+，则有

情况3 如果Jex,12(∞)＜Jex,i(∞),i =1,2，则有ΔJi＞0,i =1,2。式(21)的极限点可以通过式(26)描述。

当n→∞时，

由式(27)得：

由式(18)，得到：

将式(27)未加限定代入式(29)，得

又因为1-λ+＜(∞)＜λ+＜1，ΔJi=Jex,i(∞)-Jex,12(∞)，所以就有

即有Jex(∞)＜min{Jex,1(∞),Jex,2(∞)}。

4 计算复杂度分析

以每次迭代时的乘法操作数来衡量组合算法的计算复杂度。依照式(22)可知，更新a(n)需要13个乘法操作，依照式(5)、式(16)的备注式知，更新ea1(n)需要2L2+3L+3个乘法操作，更新ea2(n)需要3L+3个乘法操作。实际上根据Sigmoid函数计算λ还需要一些额外的计算量，但可以用查表的方式实现[8]。因此，该组合算法的计算复杂度为2L2+6L+19。

5 计算机模拟实验

5.1 仿真设置

为了进一步验证所提出组合算法的收敛性能与跟踪性能，现将组合算法与NLMS算法、PNLMS算法和IPNLMS算法应用于信道均衡的仿真分析，并分别对这4种算法进行N次独立仿真实验，求取统计平均值。同时，为能够客观比较系统失调等性能参数，4种算法的参数均选用文献[4,9,10]中讨论过的相对最优参数，见表1。

表1 模拟实验参数设置

根据仿真需求定义向量ω的稀疏度ξ(ω)[1]：其中，N'是向量ω的长度，║ω║1表示向量的L1范数，║ω║2表示向量的L2范数。需要说明的是，本文根据稀疏度ξ的大小将信道特性分为3类：稀疏信道(ξ≥0.6)，非稀疏信道(ξ＜0.2)和模糊态信道(0.2≤ξ＜0.6)[11]。

5.2 仿真结论

第一组仿真实验比较了稀疏信道特性(稀疏度ξ=0.927)时，4种算法的初始收敛速度。仿真采用PN码作为输入的训练序列，干扰信号是与输入信号不相关的白噪声，仿真结果如图 2所示。从图2中可以看到，在相同的全局步长参数条件下，PNLMS算法比 NLMS、IPNLMS算法收敛速度有很大改善，同时PNLMS的稳态失调有所改善。此时，所提及组合算法与PNLMS算法有相同的初始收敛速度，同时它们的稳态失调也相近。

图2 (信道稀疏)4种算法的初始收敛速度比较

第二组仿真实验比较了非稀疏信道特性(稀疏度ξ=0.102)时，4种算法的初始收敛速度。信道特性为非稀疏，其他仿真条件与第一组仿真相同，仿真结果如图3所示。从图3中可以看到，在相同的全局步长参数条件下，NLMS的收敛速度优于PNLMS、IPNLMS算法，同时稳态失调也有所改善。此时，所提及组合算法与NLMS有相同的初始收敛速度，同时它们的稳态失调也相近。

第三组仿真实验比较了模糊态信道特性(稀疏度ξ=0.443)时，4种算法的初始收敛速度。信道特性为介于稀疏与非稀疏的模糊态，其他仿真条件与第一组仿真相同，仿真结果如图4所示。从图4中可以看到，在相同的全局步长参数条件下，起初PNLMS算法的收敛速度优于 NLMS、IPNLMS算法，迭代至450步左右，NLMS算法的收敛速度开始优于PNLMS算法直至稳态，在此过程中IPNLMS算法和所提及组合算法都表现出了较好的收敛速度和稳态失调度，尤其是所提及组合算法性能明显优于其他几种算法。由此得出结论，不论信道特性如何变化，所提及组合算法总能“智能”表现出比较适合信道均衡的自适应滤波算法。

图3 (信道非稀疏)4种算法的初始收敛速度比较

图4 (信道模糊态)相关算法的初始收敛速度比较

另外，为比较算法的跟踪性能，令信道模型参数在迭代进行至1 500步时同时发生变化，由模糊态转化为非稀疏状态，得到 NLMS算法、PNLMS算法、IPNLMS算法与组合算法的学习曲线，如图5所示。

从图 5可以看出，仿真前半部分(信道模糊态)收敛过程的初始阶段，组合算法和PNLMS算法的收敛速度明显快于NLMS、IPNLMS算法；在收敛过程进入稳态阶段后，组合算法又继承了NLMS、PNLMS和IPNLMS算法低稳态误差优点。仿真后半部分(信道非稀疏)收敛过程的初始阶段，组合算法和NLMS算法的收敛速度明显快于PNLMS算法；在收敛过程进入稳态阶段后又继承了NLMS、PNLMS和IPNLMS算法低稳态误差优点，在稳态性能上优于PNLMS。因为新算法对组合参数进行了限幅，这样极大地缩小了系统渐进稳态的过渡过程。同时在系统参数发生变化时，所提及组合算法也表现出较好的跟踪性能。

图5 4种算法的跟踪能力

6 结束语

同步长凸组合MMSD算法在凸组合思想的基础上，以最大均方权值偏差为准则，解决了时变环境的情况下，自适应滤波器的收敛速度及其跟踪性能差的问题。为了保证系统的稳态性能、减少系统的失调，NLMS滤波器步长应与PNLMS滤波器步长保持一致。理论推导证明和仿真结果验证了算法的收敛性能与稳态均方性能。

附录1

因为

v(n+1)=v(n)+λ(n)p1+[1-λ(n)]p2，则有

所以，

得证。

附录2

由式(21)到式(22)的推导：

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