数学之美

马奎香

（山海关铁路技师学院 河北 秦皇岛 066205）

数学是重要的基础科学，是通向科学大门的金钥匙。“一种科学只有在成功地运用数学时，才打到了真正完善的地步”。

数学是锻炼思维的体操。数学使人思考问题时更合乎逻辑、更有条理、更严密精确、更深入简洁、更善于创新。

数学是美的。数学的美体现在方方面面，数学美在几乎所学科中的广泛应用。黄金分割的天然合理、二次曲线的对称和谐、代数的简洁、几何的优雅、逻辑论证的严密，让人们充分领略数学之美。

1 黄金分割的天然合理之美

在线段AB求一点C使AB：AC=AC：BC，称点C是黄金分割点，AC：AB=≈0.618。

黄金分割不但在艺术和美学的表现形式上让人赏心悦目，而且在人体上处处体现。例如，从美学角度来说，矩形的长宽之比等于0.618是最美的，我国国旗就是按这种比例制作的，所以看起来很美。又如，人体头顶到脚底的肚脐部位，从肚脐以上到头顶的咽喉部位处于黄金分割点时，人体看起来最美。再如，人的正常体温是37℃左右，而外界温度是23℃时感到最舒适。在这个环境中，人体的生理机能、生活节奏及新陈代谢水平也处于最佳状态，而37℃与23℃的比值差不多是0.618.

我国数学家华罗庚在推广优选法时，其关键数是用0.618求得的。

黄金分割线所体现的数学之美，俯首而拾。

2 二次曲线的对称、和谐之美

圆具有良好的对称性，过圆心的任何一条直线都是圆的对称轴。十五的月亮是圆的，所以看起来很美。

椭圆、双曲线都是中心对称图形，抛物线是轴对称图形，同是圆锥曲线，同是二次方程，都具有光学性质。二次曲线的切线都具有独特的性质；抛物线上任一点的切线与对称轴所夹的角等于这条切线与过该点的焦点半径所夹的角，椭圆上任一点的切线和过该点的两个焦点半径成等角，双曲线上任一点的切线等分过该点的两个焦点半径所夹的角。根据切线的性质，可制作各式各样的反光镜面。

圆 X2+y2=r2上点（x0，y0）处的切线方程是 x0x+y0y=r2，椭圆=1上点（x0，y0）处的切线方程是=1,双曲线=1 上点 （x0，y0）处的切线方程是=1，抛物线 y2=2px 上点（x0，y0）处的切线方程是y0y=p（x+x0）。曲线方程和切线方程在形式上如此对称和谐，并且容易记忆。二次曲线的对称美，可以由方程判断，也可以从图形上看出。

一个椭圆的任意内接六边形，其三对对边的交点必定共线（巴斯卡定理）；一个椭圆的任意外切六边形，其三对对顶的联线必定共线（布利安双定理）。椭圆具有如此优雅的性质，绘出的图形更能体现数学之美。

3 代数的简洁之美

数学的美在于它用几个字母符号就能表示若干信息的简单明了，美在它大胆假设和严格论证的伟大结合。

例 1：费马大定理

“当n是一个大于2的正整数时，不定方程xn+yn=zn没有正整数解。”这一结论是1637年左右由法国费马提出的，被称为“费马猜想”，习惯上又称为“费马大定理”。从1678年至1844年间，莱布尼兹、欧拉、勒让德、狄利克雷、拉美、库默尔等数学家只证明了一些特殊情形。

1908年哥廷根皇家科学会悬赏10万马克，奖给最先证明这一定理的人，为期100年。

1944年有人证明了2＜n＜4002情形下费马大定理成立。

1976年有人借助大型电子计算机证明了2＜n＜125000情形下费马大定理成立。

1994年由英国数学家怀尔斯完全证明了历时350多年的费马大定理，获得了10万马克奖金。

例 2：哥德巴赫猜想

1742年提出的哥德巴赫猜想：“任何大于6的偶数都是两个奇质数之和”。要证明这个问题，有几种不同的思路，其中之一是证明某数为两数之和，其中第一个数的质因数不超过a个，第二个数的质因数不超过b个。这个命题成为“a+b”，最终要达到的目标是证明“a+b”为“1+1”。

在 1966 年之前， 中外数学家先后证明了 “9+9”、“6+6”、“5+5”、“4+4”、“3+3”、“2+3”、“1+3”。

在1966年至1973年间，我国数学家陈景润证明了“1+2”，他的证明震惊中外，被命名为“陈氏定理”。

陈景润没有完全证明哥德巴赫猜想，等待后人去证明“1+1”。

4 几何的优雅之美

一种科学的产生和发展，都源于人们的现实生活。在我国，约公元前1000年，在陶器的花纹中就有了菱形、正方形图案。公元100年，在《九章算术》中就记载了“商高定理”（勾股定理）。在三国时代，赵爽用图形证明了勾股定理。

4000多年前，埃及尼罗河每年泛滥，两岸的土地被淹没，大水退后，为了解决土地界限问题，逐渐产生了测量土地和画图的知识。后来，人们称这些知识为几何。

随着生产的发展，人们对图形的认识逐步拓展，许多数学家花费了大量的时间，将这些知识系统的总结成一门学科。最有成就的是希腊数学家欧几里得的《几何原本》。

人们对图形的认识，首先是从具体的图形中抽象出点、线、面、体等概念。其次是用运动的观点来研究图形，把图形看成点在空间运动的轨迹。再次是对空间图形认识的扩展。人类居住的空间是三维的，所以，几何图形也只能从长、宽、高三个方向度量，这三维再加上时间，就得到四维空间的概念。接下来，由于拓朴学的诞生，非欧几何和射影几何的出现，而将几何学的发展推向深入。随着信息技术的不断发展，分形几何又成为当代几何的一个新亮点。

数学的美，数不胜数。用网友所作的这篇《沁园春·数学》来赞美数学吧。

沁园春·数学

数苑飘香，千载繁荣，百世流芳。

读《九章算术》，何等精彩，《几何原本》，意味深长；

复变函数，概统理论，壮阔雄奇涌大江；

逢盛世，趁春明日暖，好学轩昂。

难题四处飞扬，引无数英才细参详；

仰加罗华氏，煌煌群论，陈氏定理，笑傲万方；

一代天骄，怀尔斯，求证费马破天荒；

欣昂首，看数学发展，无可限量！

［1］蓝天.数学是美的[J].少年智力开发报，2012-6-29.

［2］李书平.浅谈数学之美[J].技工培训之友，1996,6.

［3］曲一线.5年中考3年模拟·数学[M].北京：首都师范大学出版社，2006,8.