数学思想领衔主演不等式问题

☉湖北省当阳市河溶高中 陈 军

不等式问题中蕴含着丰富的数学思想，在教学的过程中，若能恰当地运用这些思想方法，则可使很多复杂问题化难为易，化繁为简，从而达到优化解题过程、培养思维能力的目的.经常使用的思想方法有函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想、分类讨论思想等.下面笔者根据自己多年的教学实践，谈谈自己的看法.

一、转化与化归思想

不等式的证明和求解，实质上就是利用不等式的性质对不等式进行转化.二次不等式恒成立可以转化为判别式Δ和开口方向应满足的不等式组，也可以利用函数最值进行转化求解.二次函数的最值又可以转化为直线在y轴上的截距.总之转化和化归思想在不等式的学习中处处可见.

解析：本题乍一看，会认为这种不等式不属于常见的一元二次不等式，感觉无从下手，但仔细观察分母，可知它是恒大于0的，从而转化为分子与分母的大小比较问题.

二、分类讨论思想

当我们解含有字母系数的不等式时，往往要对其中所含的字母进行适当的分类讨论.分类讨论的原因大致有以下三种：（1）对不等式作等价变换时，正确运用不等式的性质而引起的讨论；（2）对不等式（组）作等价变换时，由相应方程的根的大小比较而引起的讨论；（3）对不等式作等价变换时，由相应函数单调性的可能变化而引起的讨论.

例2 设不等式x2－2ax+a+2≤0的解集为M，如果M⊆［1，3］，求实数a的取值范围.

解析：求解本题须从M⊆［1，3］入手，其包含两种情况：

①M=Ø，此时Δ<0；②M≠Ø，此时Δ≥0，需分三种情况计算a的取值范围.

设f（x）=x2－2ax+a+2，Δ=（－2a）2－4（a+2）=4（a2－a－2）.

M⊆［1，3］包含两种情况：①M=Ø，此时Δ<0；②M≠Ø，此时Δ≥0，需分三种情况计算a的取值范围.

（1）当Δ<0时，－1

（2）当Δ=0时，a=－1或2.当a=－1时，M={－1}，不合题意；当a=2时，M={2}⊆［1，3］，符合题意；

（3）当Δ>0时，a<－1或a>2.设方程x2－2ax+a+2=0的两根分别为x1、x2，且x1

例2实质上是二次函数的区间根问题，弄清二次方程、一元二次不等式、二次函数三者之间的内在联系是解题的关键.另外，不要忽略M=Ø是符合题设条件的情况之一.所以分类讨论的关键是要根据实际问题找到分类标准，标准的确定须使任两类交集为空集且并集为全集，这样才能在解题过程中，做到合理、不重复、不遗漏.

三、数形结合思想

数形结合思想，即根据数量与图形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的一种重要思想方法.数形结合思想通过“以形助数，以数解形”，使复杂问题简单化，抽象问题具体化.如果不等式的结构可以通过某种方式与图形建立联系，则可设法构造图形，将不等式所表达的抽象数量关系转化为图形加以解决.这种数形结合法可以避免解不等式时求交集的运算，解法简练、清楚，是一种生动活泼的思维方式.用数形结合法解（或证）不等式问题的关键是准确画出所构造的两个函数的图像，自变量的取值范围要准确定位.在探究线性规划问题时，数行结合思想有着广泛的应用.

例3 当方程x2+ax+2=0至少有一个实数根小于－1时，求实数a的取值范围.

解析：“至少有一个实数根小于－1”包括只有一个实数根小于－1或两个实数根都小于－1两种情况.可以借助作图辅助求解.

设f（x）=x2+ax+2，其图像是抛物线.

图1图2

（1）当原方程有一个实数根小于-1，另一个实数根大于-1时，如图1所示，必须且只需即

（2）当原方程的两个实数根都小于-1时，如图2所示.（3）当方程有一个实数根为-1，另一个实数根为-2时，a=3.综上所述，原方程至少有一个实数根小于-1时，a的取值范围是

数形结合的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来，也就是对题目中的条件和结论既分析其代数含义又挖掘其几何背景，在代数与几何的结合中找出解题思路.

总之，在教学过程中，要注重对思想方法的渗透，让数学思想引领我们的教学，使学生能够感悟领会，达到举一反三的效果，这样对数学成绩的提高是大有裨益的.

1.张晓萍.数学思想方法在不等式中的应用［J］.数学大世界，2010年第08期.

2.杨再军.例说数学思想在不等式中的应用［J］.高中数学教与学，2006年第03期.