一道新定义型试题的命制历程与反思

☉安徽省无为县刘渡中心学校 丁浩勇

一道新定义型试题的命制历程与反思

☉安徽省无为县刘渡中心学校 丁浩勇

随着新课程改革的不断深入，各地中考试题的命制也在不断创新．纵观近年来各地的中考数学试卷，有一种新颖的题型让人耳目一新，那就是新定义型中考题．所谓新定义型试题，就是题干中首先给出一段阅读材料，介绍一种新的定义，然后要求考生在自学新知识的基础上，灵活应用新定义来解答其后的问题．

为何新定义型中考题越来越受到中考命题者的青睐？这是因为这类试题不但可以考查学生的阅读理解能力、信息处理能力和新知识的应用能力，而且可以考查学生的数学意识、探究能力和创新精神．为了培养学生这方面的能力，同时也为了中考复习更具针对性和有效性，我在命制中考模拟试题时，对这类试题的命制进行了有益的尝试，下面把我命制的一道新定义型试题的历程呈现出来，与大家共享．

一、新题呈现

题目 我们新定义一种三角形：若一个三角形中存在两边的平方差等于第三边上高的平方，则称这个三角形是奇高三角形．如图1，在△ABC中，AD是BC边上的高，若AB2－AC2=AD2，则称△ABC是奇高三角形．

（1）求证：BD=AC.

（2）在图1中，若∠BAC=90°，BC=a，AC=b，AB=c，求证：c2=ab.

（3）若图1中的奇高△ABC满足BA=BC，过D点作AC的平行线交AB于点E（如图2所示）．试探求线段DE与DC的大小关系，并说明理由．

图1

图2

二、命制历程

命制数学试题是每一位数学教师都要掌握的一项基本技能，《义务教育数学课程标准（2011年版）》明确指出，在数学教学活动中，教师要创造性地使用教材，积极开发、利用各种教学资源，为学生提供丰富多彩的学习素材．好的数学试题，就是一项不可或缺的教学资源，这就要求教师不但要学会命题，而且还要不断提高自己的命题技术，这样才能保证源源不断地给学生提供优质的试题．

1.创意源头

一道新题的产生可以通过新编、仿编、改编以及对原有试题的重新组合等方式得到．编制这道中考模拟题的灵感来自于2011年浙江省宁波市的一道中考题．中考原题是这样的：

阅读下面的情景对话，然后解答问题：

（1）根据“奇异三角形”的定义，请你判断小华提出的命题：“等边三角形一定是奇异三角形”是真命题还是假命题.

（2）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB=c，AC=b，BC=a，且b＞a，若Rt△ABC是奇异三角形，求a∶b∶c

图3

（3） 如图3，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点（不与点A、B重合），D是半圆ADB的中点，C、D在直径AB的两侧，若在⊙O内存在点E，使得AE=AD，CB=CE，

①求证：△ACE是奇异三角形；

②当△ACE是直角三角形时，求∠AOC的度数．

本题要求学生在自主阅读的基础上充分领悟“奇异三角形”的概念，把奇异三角形的条件与勾股定理、圆的相关性质以及解直角三角形的知识综合起来求解．试题通过情景对话给出“奇异三角形”的概念，增加了问题的趣味性和新奇性.同时，试题以“奇异三角形”为载体设计由易到难、由单一到综合的问题，非常有利于学生展示自己的学习成果．

2.雏题形成

众所周知，两边的平方和等于第三边平方的三角形是直角三角形．中考试题中定义两边的平方和等于第三边的平方的2倍的三角形为奇异三角形．由此，我们可以探究三角形两边的平方差，如果三角形两边的平方差等于第三边的平方，这个三角形是直角三角形，如果三角形两边的平方差等于第三边上高的平方呢？于是新的定义产生了——奇高三角形．

有了新的定义，就可以围绕新定义设置问题了．课本中学生对新图形的学习，一般先学习图形的定义，再探索发现其性质和判定方法，然后通过解决相关的问题来巩固所学知识．我们对“奇高三角形”的研究也应该按照这样的思路进行．

首先，在图1中，由“奇高三角形”的定义，可知AB2－AC2=AD2；在△ADB中，由勾股定理，得AB2－BD2=AD2.于是有AC2=BD2，即AC=BD．这说明“奇高三角形”较长边在第三边上的投影等于较短边的长．因此，为了考查学生自学新知识的能力和运用勾股定理解决简单问题的能力，设置了第1个问题——证明BD=AC．

人们认识事物，经常从认识事物的特殊类型出发来逐步深入认识它．比如我们认识四边形时，是通过学习平行四边形和梯形（继续学习它们的特殊类型如矩形、等腰梯形等）来逐步认识四边形的．同样，研究“奇高三角形”也应该从特殊的“奇高三角形”入手展开探究．特殊的“奇高三角形”可以是直角“奇高三角形”、等腰“奇高三角形”等．

若图1中△ABC的边AB与BC相等时，就到一个等腰“奇高三角形”.由于等腰三角形的性质丰富多彩，如果“奇高三角形”融入等腰三角形，一定会焕发出色彩缤纷的焰花．等腰三角形的奇特性在于它“三线合一”，即底边上的高、底边上的中线、顶角的平分线重合．我们不妨先作出这条线段BM（如图4），显然有∠1=∠2，而在“奇高三角形”中有BD=AC，设想再添加一个条件构造两个全等三角形．过D点作DN∥CM，交BM于点N，这样就有Rt△BDN≌Rt△ACD，于是DC=DN．因此，可以设置第3个问题，让学生探求线段DE与线段DC的数量关系．

3.突破与反思

问题1：如何保证题设的科学性？

试题的科学性是评价试题质量的首要指标．试题的科学性包括两个方面：一是试题本身是正确的，可解，不具有科学性的错误；二是试题表述简洁、明确、规范，图形准确，不存在歧义．如果命题时考虑欠妥导致出现科学性错误，不仅会影响考试的信度，更重要的还会误人子弟.

图4

我们来看这道题的初稿，其题设是这样的：

我们新定义一种三角形：若一个三角形中相邻两边的平方差等于第三边上的高的平方，则称这个三角形是奇高三角形.如图1，在△ABC中，AB＞AC，AD是BC边上的高，若AB2－AC2=AD2，则称△ABC是奇高三角形.

首先，定义中“若一个三角形中相邻两边的平方差等于第三边上的高的平方”这一表述不够明确，是任意两边的平方差都等于第三边上的高的平方，还是只要存在两边的平方差等于第三边上的高的平方就符合条件呢？显然命题的意图是在一个三角形中只要存在相邻两边的平方差等于第三边上的高的平方这个关系就符合奇高三角形的定义，而不是任意两边的平方差都要等于第三边上的高的平方.所以，为了题设不会产生歧义，定稿时在“若一个三角形中”的后面加上“存在”二字.其次，由于三角形中任意两边都是相邻的，所以“相邻”这个条件是多余的.另外，由AB2－AC2=AD2就可以判定AB＞AC，这说明“AB＞AC”这个条件已经隐含在“AB2－AC2=AD2”之中，没有必要给出“AB＞AC”这个多余的条件了.

命题反思：数学问题讲究严密性、逻辑性，几何问题尤为突出.在命制新定义型几何问题时，除了新定义的真实性，即定义必须要符合事实，与已有的数学事实不存在矛盾，还要保证题设的充分性和必要性，一方面要保证所给条件能够推导出结论，另一方面也要避免题设中存在多余条件，力求命题的题设科学合理，严谨规范.

问题2：如何达到结论的合理性？

一道完整的几何证明题，包括题设和结论两部分.学生在探求结论时，无论是由因导果，还是执果索因，总要寻找题设与结论之间的桥梁，以便能够找到正确的解题方向.因此，我们在命制几何证明题时，应充分考虑到学生的思维特点，在题设与结论之间架设适当的桥梁.本例中设置的第1个结论“求证：BD=AC”就是一道有效的桥梁，如果缺少第1个结论，直接让学生探究后面的两个结论，出现思维障碍将是不可避免的.

命制几何证明问题时，一个结论的产生不是一蹴而就的，命题的过程中常常会有种种问题呈现，如目标不明、表述宽泛、跨度偏大等.下面以第2个问题的设置为例阐述之.第2个问题的雏形是这样的：

在图1中，若∠BAC=90°，BC=a，AC=b，AB=c，试探求a、b、c之间的关系.

这个问题的表述过于宽泛，“a、b、c之间的关系”可以有多种不同的表现形式，比如根据勾股定理可以得到a2=b2+c2.如果学生给出这样的结论对不对呢？这难道不是a、b、c之间满足的关系吗？但这样的结论与题设中的奇高三角形毫无关系，显然达不到预设的考查目标.因此，第2个问题的“试探求a、b、c之间的关系”最终被“求证：c2=ab”所替代.

命题反思：设置命题的结论时，结论的表述应该清晰明了，要让学生明确问题探究的方向.如果指向不明确，容易产生歧义，导致学生错误地判断问题的指向，出现一些意想不到的答案，从而难以实现命题的考查目标.

三、命制的本道试题的特点

1.试题内容新颖，体现公平

本题不同于传统的几何证明题，仅仅设计一些对课本现存知识应用的问题，而是借助于新定义的三角形——“奇高三角形”这个媒介，把勾股定理、全等三角形的性质与判定、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、平行线的性质等知识有机地联系起来，让人耳目一新.这样的试题，是学生在课堂上从未涉及的新知识，对每一个学生来说都是平等的，题型新颖别致，不落俗套，既能激发学生的答题兴趣，启发学生的解题思路，锻炼学生的创造性思维能力和知识迁移能力，还可以在一定程度上防止学生猜题和押题，对那些依靠“死记硬背”和“题海战术”来应付中考的学生来说简直就是当头一棒.

2.试题强调基础，兼顾选拔

《义务教育数学课程标准（2011年版）》明确指出，义务教育阶段的数学课程是培养公民素质的基础课程，具有基础性、普及性和发展性.数学课程能使学生掌握必备的基础知识和基本技能，培养学生的抽象思维和推理能力，培养学生的创新意识和实践能力，促进学生在情感、态度与价值观等方面的发展.义务教育的数学课程能为学生未来生活、工作和学习奠定重要的基础.因此，试题的命制首先要立足基础.第1个问题把新概念“奇高三角形”的定义与勾股定理有机地结合起来，考查的是对勾股定理和新定义的简单运用；第2个问题把直角三角形融入奇高三角形之中，考查的是相似三角形的判定、相似三角形的性质及奇高三角形的定义等基础知识.

由于中考肩负着初中毕业考试和初中升学考试的双重功能，因此，试题的编制除了注重对基础知识和基本能力的考查，还要兼顾考查学生后续学习的潜在能力.这道中考模拟试题的编制充分考虑了考试的合格性和选拔性两种功能.第1个问题和第2个问题重在达标性检测，而第3个问题的设置对学生的能力方面提出了更高的要求，充分体现了升学考试的选拔功能.首先第3个问题的提出具有一定的开放性，学生需要自己寻找两条线段具有怎么样的数量关系，然后再从理论上加以证明.在证明的过程中，还要借助辅助线.这是对学生的逻辑推理能力、探究能力、综合解决问题的能力及数学思想方法的全方位考查.

3.试题结构简洁，数学味儿浓

本题的结构简洁主要体现在两个方面.首先，题目给出奇高三角形的定义时开门见山，没有设置冗长的情境来干扰学生的阅读自学进程，给学生读题设置障碍，浪费学生的读题时间，从而导致学生难以正确理解题意；其次，结论的表现形式简洁美妙，如c2=ab，以非常简洁、优美的形式揭示了直角奇高三角形的本质特性——较长直角边是较短直角边和斜边的比例中项.这样的试题正符合初中学生的心理特征，学生不但能在轻松的氛围下答题，而且还能在答题的过程中体会到数学文化的魅力.数学题就应该渗透数学本身的学科知识和能力，切不可丢失了数学味儿而哗众取宠.