关于中考数学复习题选编的探究

☉广东省珠海市斗门区六乡中学 郭高祥

中考复习，时间紧，容量大，任务重，如何做到既能全面系统的复习，又能提高学生的综合能力，要在短期内达到这一目的，采用什么样的复习措施将直接影响到复习的效果和学生最终的中考成绩.教师在选编复习题时要抓住课本的一些典型的例题或者是有针对性的复习资料（如往年中考题），进行加工，使学生对系统的数学知识进行复习，形成有效的思维方法，提高灵活运用知识和综合解决问题的能力.

一、选编知识覆盖面大的复习题巩固基础知识

中考复习不应是教材知识的简单再现，复习题的选编既要考虑知识的覆盖面要广、突出重点，又要有利于强化基础知识、基本技能和基本的数学思想方法的综合应用.教师要善于选取各省市中考试题进行整合，事实证明大部分的中考题都是各省市有经验的教师精心编制的题目，对知识的考查都是全方位的，在复习阶段对学生进行有针对性的训练有利于提高学生对基础知识的掌握.例如选取某份中考卷的试题的前面三大题重新整合一份课前训练试题，但不宜全盘照搬，最好是难度不宜太大，照顾学生的自信心.

例1基础知识训练.（以2011年广东中考题为例）：

3.按下面程序计算：输入x=3，则输出的答案是_______________.

4.如图1，AB与⊙O相切于点B，AO的延长线交⊙O于点C.若∠A=40°，则∠C=_____.

图1

二、选编具有开放性的复习题培养学生创新能力

开放性题型的教学，在近几年来，随着实践的开展，它的效用已经被广泛地得到证明，有利于学生的创新精神的培养和实践能力的形成.

例2 如图2，已知AB∥CD，AC与BD相交于O，试问：当加上什么条件时，可以证明该四边形是一个平行四边形？

图2

分析：联系判定一个四边形是平行四边形的条件有：

（1）定义；两组对边分别平行的四边形.

（2）判定：两组对角相等；两组对边相等；

两条对角线互相平分；一组对边平行且相等.

因此，根据题目的已知条件可有选择地添加条件，这样既复习了平行四边形的有关知识又发散了学生的思维.本题有许多答案如：①BC∥AD；②AB=CD；③∠A+∠B=180°；④∠C+∠D=180°；⑤OA=OC，OB=OD；⑥∠A=∠C，∠B=∠D；⑦∠BCA=∠DAC等.

三、选编的复习题要注重学生发散思维和探索问题能力的培养

著名数学家波利亚说过：“一个专心认真备课的老师能够拿出一个有意义但又不太复杂的题目，去帮助学生挖掘问题的各个方面，使得通过这道题，就好像通过一道门户，把学生引入一个完整的理论领域.”教师在教学中要引导学生通过一题多解，一题多变培养思考问题的灵活性、开拓性、多向性和创造性.

（1）通过一题多解培养学生的发散思维能力：思维是能力的核心，观察是思维的外壳，应变是技巧的法宝.一道题目，通过仔细观察分析，理清关系，从多角度去思考探究，不仅拓展了学生的思维空间，而且培养了学生的发散思维能力.

例3 如图3，已知多边形ABDEC是由边长为2的等边三角形ABC和正方形BDEC组成，一圆过A、D、E三点，求该圆半径的长.

分析一：根据多边形由等边三角形和正方形组成，可利用它们的性质，想到垂径定理来求解.

图3

图4

解法一：如图4，作AF⊥BC，垂足为F，并延长交DE于H点.

因为△ABC为等边三角形，

所以AF垂直平分BC.

因为四边形BDEC为正方形，

所以AH垂直平分正方形的边DE.又DE是圆的弦，所以AH必过圆心.记圆心为O点，并设⊙O的半径为r.

所以该圆的半径长为2.

分析二：根据多边形由等边三角形和正方形组成，而它们的边长相等，可利用平移的性质和想象A、D、E三点确定一圆.

解法二：如图5，将等边△ABC向下平移得等边△ODE，其底边与DE重合.

图5

因为A、B、C的对应点是O、D、E，

所以OD=AB，OE=AC，AO=BD.

因为等边△ABC和正方形BDEC的边长都是2，所以AB=BD=AC=2.

所以OD=OA=OE=2.

因为A、D、E三点不在同一直线上，

所以A、D、E三点确定一圆.

因为O到A、D、E三点的距离相等，

所以O点为圆心，OA为半径.

所以该圆的半径长为2.

分析三：从解法2得到启示，当△ODE是等边三角形时OD=DE=2该圆的半径长可求.

解法三：如图6，作出圆心O，并连接OD，OE，AD，AE.

因为等边△ABC和正方形BDEC，

所以∠DBC=90°，∠ABC=∠BAC=60°，AB=BD.

图6

所以∠ABD=150°，可得∠BAD=15°

同理：可得∠CAE=15°，∠DAE=30°，

∠DOE=2∠DAE=60°.

又因为OD=OE，所以△ODE是等边三角形.所以OD=DE=2，可得该圆的半径长为2.

从上面问题的解决中可看出，对于一个问题，从不同的角度出发，可以得到不同的解题思路，通过一题多解，我们学会的不仅仅是解题，更重要的是对概念有了更深刻的理解.

（2）通过一题多变培养探索问题的能力：思维的创造性表现在抓住事物的规律与本质，能够深入地分析思考问题，进而把握对象的本质.复习课中，教师要精心选编课本的典型例题进行一题多变，教师要对数学概念、性质、判定方法、课本习题、几何作图方法等内容通过整合，启发学生从多角度、多方面、多层次探究，进行创造性地学习.

例4 （人教版八年级上册教材P58第11题）如图7，△ABD和△AEC都是等边三角形.求证：BE=DC.

图7

分析：证明△ABE和△ADC全等，从而得BE=DC.

变化1 如图7，△ABD和△AEC都是等边三角形.BE与DC有什么关系？你能用旋转的性质说明上述关系成立的理由吗？

（人教版九年级上册教材P61第10题）

分析：证明△ABE是由△ADC以A为旋转中心逆时针旋转60°得到，△ABE和△ADC全等从而得BE=DC.

变化2 如图8，△ABC和△DEC都是等边三角形.

△EBC可以看成是△DAC经过平移、轴对称或旋转得到的，

说明得到△EBC的过程.（人教版九年级上册教材P75第5题）

分析：解法类同变化1，不再赘述.

图8

图9

变化3 如图9，A、B、C三点在同一直线上，分别以AB、BC为边，在直线AC的同侧作等边△ABD和等边△BCE，连接AE交BD于点M，连接CD交BE于点N，连接MN得三角形试判断△BMN的形状，并说明理由.

分析：本题中求得BM=BN是解题的关键.首先证明△ABE≌△DBC，可得到能使△ABM≌△DBN的条件，即可求得BM=BN.

根据∠MBN=60°即可求得△BMN为等边三角形（解略）.

变化4 （2011年广东梅州）如图10，已知线段AB的长为2a，点P是AB上的动点（P不与A，B重合），分别以AP、PB为边向线段AB的同一侧作正△APC和正△PBD.

（1）当△APC与△PBD的面积之和取最小值时，求AP的值.（直接写结果）

（2）连接AD、BC，相交于点Q，设∠AQC=α，那么α的大小是否会随点P的移动而变化？请说明理由.

（3）如图11，若点P固定，将△PBD绕点P按顺时针方向旋转（旋转角小于180°），此时α的大小是否发生变化？（只需直接写出你的猜想，不必证明）

分析：本题考查了旋转的性质，以及全等三角形的判定与性质.正确证明两个三角形全等是解题的关键.此题正是来源于前面的习题，学生也会觉得很亲切.

（1）当P是AB的中点时，两个三角形的面积的和最小，可以设AP的长是x，然后利用x表示出两个三角形的面积的和，利用二次函数的性质即可求得x的值

当x=a时面积S取最小值.

（2）首先证明△APD≌△CPB，然后根据三角形的外角的性质即可求解.

（3）旋转的过程中，由（2）中得两个三角形的全等关系不变，因而角度不会变化.

解：（1）a.（2）α的大小不会随点P的移动而变化.

理由：因为△APC是等边三角形，所以PA=PC，∠APC=60°.

因为△BDP是等边三角形，所以PB=PD，∠BPD=60°.所以∠APC=∠BPD.

所以∠APD=∠CPB.所以△APD≌△CPB.

所以∠PAD=∠PCB. 因为∠QAP+∠QAC+∠ACP=120°，所以∠QCP+∠QAC+∠ACP=120°，所以∠AQC=180°-120°=60°.

（3）此时α的大小不会发生改变，始终等于60°.

从以上对中考数学复习的选题的探究来看，通过教师对教学内容的精心设计和整合，通过探究选编复习题可以在做好中考复习的同时也更好地激活学生的潜能，体现学生是学习的主人，教师是教学的组织者、引导者与合作者，实现不同的学生有不同的发现，体现不同的学生学习不同的数学，让每个学生在数学上都得到不同的发展，.

1.数学课程标准［S］.北京：北京师范大学出版社，2001.

2.数学（八、九年级上册教材）［M］.北京：人民教育出版社，2009.

3.王丽娟.数学课堂审题教学观察与思考［J］.中学数学教学参考，2011（4）.

4.高峰.深度挖掘异彩纷呈——对一道课本习题的探究［J］.中学数学教学参考，2011（11）.