抛物线和双曲线在初中阶段的“另类”考法

☉浙江省宁波市东钱湖中学 郭 斌

在初中阶段，对抛物线和双曲线的考查一般不涉及它们的几何性质的.但在近几年的中考、竞赛以及重点中学提前招生考试中出现了一些“另类”的考查方式：即以抛物线、双曲线的初等几何意义为背景，作适当的铺垫后引出一些基本的几何性质，然后利用此性质解决问题.这类题目背景丰富，与高中的解析几何知识联系紧密，起点比较高，又有一定的技巧性，是考查优秀学生的一类好题材.故不惮浅陋，把一些自己接触过的以及自编的这类题目付于笔端，以抛砖引玉.

一、与抛物线几何定义有关的题目

例1 已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A（－4，3）、B（2，0）两点，当x=3和x=－3时，这条抛物线上对应点的纵坐标相等.经过点C（0，－2）的直线l与x轴平行，O为坐标原点.

（1）求直线AB和这条抛物线的解析式.

（2）以A为圆心，AO为半径的圆记为⊙A，判断直线l与⊙A的位置关系，并说明理由.

（3）设直线AB上的点D的横坐标为－1，P（m，n）是抛物线y＝ax2＋bx＋c上的动点，当△PDO的周长最小时，求四边形CODP的面积.

这是2010年江苏省南通市的中考压轴题，第一小题是中考的常规考法，第二小题暗示了抛物线上任意一点到焦点和焦线的距离这个性质，O是焦点，l是焦线，经过这么一铺垫只要利用这个性质就可解决第三小题.以此为背景的这类题目在各类考试中已不时出现，如2010年湖北黄冈市的中考压轴题和2006年宁波市鄞州中学提前招生最后一题就是此类题目.

图1图2

（1）求证：MP=MF.

（2）C是x轴任意一点，过点C作直线交抛物线于点A、B，连接AF、BF、CF，求证：CF是△ABF的外角平分线.

（1）求证：MP=MF.

（2）连接MF并延长交抛物线于点N，试判断以MN为直径的圆与x轴的位置关系，并说明理由.

这两道题目都以抛物线的几何定义为出发点，用第一小题来证明感悟这个性质，然后在下一小题中来灵活应用.当然这两题还包含抛物线的其他几何意义，留有余味.如通过练习二我们可以得到抛物线的一个相对简洁的切线作法.

二、与抛物线二阶等差性有关的题目

先看两个例子，例2是2003年上海市的竞赛题，例3是2008年浙江省嘉兴市的中考题.

例2 某学生为了描点作出y＝ax2＋bx＋c（a≠0）的图像，取自变量的7个值：x1，x2，x3，x4，x5，x6，x7，且x2－x1=x3－x2=x4－x3=x5－x4=x6－x5=x7－x6，分别算出对应的y值，如下表：

x x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7 y 51 107 185 285 407 549 717

但由于粗心算错了其中一个值，请指出哪一个算错了，正确的是多少？并说明理由.

例3 如图3，在8×8的正方形网格中，任意画一条抛物线，问所画的抛物线最多能经过81个格点中的多少个（ ）.

A.6 B.7 C.8 D.9

图3 图4

这两个例子的背景是抛物线的二阶等差性.即：在抛物线对称轴的同侧依次有若干个点在抛物线上，若每间隔两点的横坐标差相等，则间隔两点的纵坐标（其实是到与主轴垂直的直线的距离）的差成等差数列.例2的表格已经很好地描述了这个性质，在一定程度上给了学生一个切入点，当学生带入计算求解析式发现计算量过大时，会去考虑纵坐标的差，使猜想有一个立足点，是道不错的题目.例3跨度大了一点，命题者把它出成选择题以降低难度，实际上经过改编可以成为一道有一定难度又有梯度的好题.

练习三：已知A1，A2，A3，A4，A5，A6，…，An是抛物线y=ax2上的点，它们的横坐标分别是1，2，3，4，5，6，…，n.

（1）用a的代数式表示y1，y2，y3，y4，y5的值.

（2）设Δyn-1=yn-yn-1，通过计算说明Δyn-1-Δyn-2（n≥3）有什么特点.

（3）当抛物线改成y=ax2+bx+c时，Δyn-1-Δyn-2（n≥3）有什么特点.

（4）在10×10的正方形网格中，任意画对称轴垂直于格线的一条抛物线，问所画的抛物线最多能经过121个格点中的多少个，试简要说明理由.

这个练习中，经过前面几个小题的铺垫后第四小题就可以借助抛物线的二阶等差性来解决，不致过于突兀.

三、双曲线中的另类题目

A.直线 B.抛物线 C.圆 D.双曲线

图5 图6

本题是2007年浙江省慈溪中学提前招生试题，此题给出了双曲线的第一几何定义：双曲线上任意一点到两焦点的差的绝对值等于实轴的长度.以此为出发点结合条件中角平分线加垂线必会出现轴对称三角形这个常见模型，就可解决问题.从另一方面看，这个题目还有“双曲线关于焦点的垂足曲线是圆”这一背景，可见此题起点比较高，难度也颇大.从双曲线的第一几何定义出发，拟编一题.

（1）试证明：AB-AC=MN.

（2）作∠BAC的内角平分线AE，过B作AE的垂线交AE于F，连结OF，证明

（3）判断以AC为直径的圆和以MN为直径的圆的位置关系，并说明理由.

双曲线除了可以以第一定义为载体来考查，还可以“渐近线矩形”面积为定值来命题.如有一道高中的竞赛题：如图7，任意直线交双曲线和它的渐近线于点A、B、C、D，则AB=CD.

图7图8

由于双曲线在初中是一种特殊的双曲线，即渐近线互相垂直的双曲线，故可以把上面所谓的“截线”相等的结论移植到初中双曲线中.故可编制以下习题：

某数学论坛曾推出过初中生看高考这个专题，笔者深受启发：既然可以从高观点的角度来看一些初等问题，也可以反过来以初等的眼光来解决高阶段的问题.这也算是新瓶装旧酒吧！