圆锥曲线切线的几个有趣性质

2012-08-28 01:41江苏省沭阳高级中学范如青
中学数学杂志 2012年19期
关键词:准线外角平分

☉江苏省沭阳高级中学 范如青

圆锥曲线切线的几个有趣性质

☉江苏省沭阳高级中学 范如青

文[1]探讨了双曲线切线的几个有趣性质,受此启发,本文探讨了椭圆和抛物线等圆锥曲线,得到类似的性质.

性质1:设F为圆锥曲线(离心率为e)的一个焦点,其相应的准线为l.一直线交圆锥曲线于点M、N,交l于点P,则FP平分∠MFN的外角.

图1

由三角形外角平分线定理的逆定理知FP平分∠MFN的外角.

性质2:设F为圆锥曲线的一个焦点,其相应准线为l,过圆锥曲线上一点M的切线交准线l于P,则PF⊥MF.

证明:如图2,延长MF交圆锥曲线于M1.在性质1中,当N与M重合时,直线PNM成为与圆锥曲线相切于点M的切线PM,∠NFM1成为平角∠MFM1.由性质1知FP平分∠NFM1,即FP平分∠MFM1,故PF⊥MF.

性质3:设F1,F2是椭圆(离心率为e)的两个焦点,点M是椭圆上异于长轴两端点的任一点,则在椭圆上的点M处的切线和法线分别平分∠F1MF2及它的外角.

图2

图3

性质4: 设F1,F2是椭圆的两个焦点,A1,A2是长轴两端点,过椭圆上异于A1,A2的任一点M作椭圆的切线,过F1,F2作切线的垂线,垂足分别是B、C,则B、C在以A1A2为直径的圆上.

证明:如图4,设椭圆的中心为O,直线F1M与直线F2C相交于D,连接OC、OB.由性质3知MC平分∠F2MF1的外角∠F2MD.

图4

所以点C在以A1A2为直径的圆上,同理点B也在以A1A2为直径的圆上.

性质5:P为椭圆外一点,PA、PB是椭圆的两切线,A、B为切点,F1、F2为椭圆的两焦点,则PF1、PF2分别平分∠AF1B、∠AF2B.

证明: 如图5,过F1、F2分别作PA、PB的垂线,交直线F2A、F1B的延长线于点F1、F2,交直线PA、PB延长线于C、D,连接PF1,PF2,PF1,PF2.

图5

1.杨昌龙,熊先汉.双曲线切线的几个有趣性质[J].中学数学月刊,2005(10).

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