圆锥曲线两垂直焦点弦的一组性质

☉湖北武汉市黄陂区第一中学 叶良志 卢 琼（特级教师）

圆锥曲线优美、和谐，它有许多内涵丰富、应用广泛的几何性质，吸引着数学爱好者乐此不疲地去研究它、发掘它、拓展它.笔者在教学中发现，如果过圆锥曲线的一个焦点作两条相互垂直的弦，与此相关联，就可以得到如下漂亮的性质.

性质5 过抛物线y2=2px（p>0）的焦点F作两条互相垂直的弦AB、CD，若弦AB、CD的中点分别为M、N，那么直线MN恒过定点

性质6 过抛物线y2=2px（p>0）的焦点F作两条互相垂直的弦AB、CD，若以弦AB、CD为直径的圆的公共弦为PQ，那么直线PQ恒过定点（0，0）（即坐标原点）.

证明： 因为A（x1，y1）、B（x2，y2），可得以AB为直径的圆的方程为：

把③④两式相减，就可得到以AB、CD为直径的圆的公共弦PQ的方程为：

所以，直线PQ恒经过定点（0，0）（即坐标原点）.