群自同构的不动点

林大华

（闽江学院数学系，福建福州350108）

群自同构的不动点

林大华

（闽江学院数学系，福建福州350108）

引入群自同构不动点的概念，对群自同构不动点的性质，非单位元不动点的存在性等做了初步的探讨，得到了若干结果。

群；自同构；不动点

1 预备知识

本文用|G|表示群G的阶（G的元素个数），用e表示群G的单位元，用a－1表示群G中元素a的逆元，用1G表示群G的恒等变换，用（m，n）表示整数m，n的最大公因数，当（m，n）＝1时表示m，n互素，用n|m表示整数n整除整数m。

定义1[1]设a是群G的一个元素，则使an＝e的最小正整数n称为a的阶，记作|a|＝n|；若这样的n不存在，则称a的阶为无限，记作|a|＝∞。

定理1[2]设a是群G的一个元素，则

（1）|a－1|＝|a|；

（2）当|a|＝n时，对正整数m，

n|m⇔am＝e。

定理2[3]设G是有限群，则

（1）对G的任意子群H，有|H||G|；

（2）∀a∈G，有|a||G|。

定理3[4]若φ是群G的自同构，则

（1）φ（e）＝e；

（2）φ（a－1）＝［φ（a）－1］。

定理4[5]设φ是群G的自同构，N是G的不变子群，φ（N）＝N，则¯φ：aN→φ（a）N是商群GN的自同构。叫做由φ诱导出的自同构。

定理5[6]若G＝（a）是循环群，则|G|＝|a|。

定理6[4]设m，n是两个不全为0的整数，则存在u，v∈Z，使得（m，n）＝um＋vm。

特别地，（m，n）＝1⇔存在u，v∈Z，使得um＋vm＝1。

2 若干结论及证明

定义2[5]设G是群，a，b∈G，则称［a，b］＝a－b－1ab是a和b的换位子。

定义3[1]设G是一个群，若存在a∈G，使得G＝｛an|n∈Z｝，则称G是由a生成的循环群，a称为G的一个生成元。

由a生成的循环群G，记作G＝（a）。

定义 4 设 φ是群 G的自同构，a∈G，若φ（a）＝a，则称a是φ的不动点。

显然，群G的单位元e是G的所有自同构的不动点；若群G的每个元素都是其自同构φ的不动点，则φ是G的恒等变换。

定理7设φ是群G的自同构，a，b∈G，若a，b是φ的不动点，则

（1）ab也是φ的不动点；

（2）a－1也是φ的不动点；

（3）［a，b］也是φ的不动点；

（4）对G的不变子群N，当φ（N）＝N时，aN是φ诱导出的自同构φ¯的不动点。

证明 由题设有φ（a）＝a，φ（b）＝b。

（1）因为φ（ab）＝φ（a）φ（b），所以ab是φ的不动点。

（2）因为φ（a－1）＝［φ（a）］－1＝a－1，所以a－1是φ的不动点。

（3）因为φ（［a，b］）＝φ（a－1b－1ab）＝φ（a－1）φ（b－1）φ（a）φ（b）＝a－1b－1ab＝［a，b］，所以［a，b］是φ的不动点。

（4）因为φ¯（aN）＝φ（a）N＝aN，所以aN是φ¯的不动点。

推论1 若G是有限群，则G的自同构φ的阶大于2的不动点个数是偶数。

证明 设a是φ的阶大于2的不动点，则由定理7及定理1知a－1也是φ的不动点，且a－1的阶也大于2。若a＝a－1，则有a2＝e，这与a的阶大于2矛盾，所以a≠a－1。因此φ的阶大于2的不动点是成对出现的，又因为G是有限群，故φ的阶大于2的不动点个数是偶数。

定理8 设φ是群G的自同构，则φ的所有不动点集合

H＝｛a∈G｜φ（a）＝a｝是G的子群。

证明 因为e∈H，所以H≠覬，∀a，b∈H，则由定理7有ab，a－1∈H，故H是G的子群。

推论3 设φ是群G的自同构，若G是交换单群，φ存在非单位元不动点，则φ是G的恒等变换。

证明 令H＝｛a∈G|φ（a）＝a｝，则由定理8知H是G的子群，因为G是交换群，所以H是G的正规子群，又因为G是单群，所以H＝｛e｝或H＝G，由题设可得H＝G，即G的每个元素都是φ的不动点，故φ是G的恒等变换。

定理9 设φ是群G的自同构，则φ存在非单位元不动点⇔存在x，y∈G，使得x－1φ（x）＝y－1φ（y）。

证明 （⇒）设x是φ的非单位元不动点，则φ（x）＝x，x，≠e，且有

x－1φ（x）＝e＝e－1φ（e）。

（⇐）由x－1φ（x）＝y－1φ（y），得 φ（x）φ（y）－1＝xy－1，从而有φ（xy－1）＝xy－1。 因为x≠y，所以xy－1≠e，故xy－1是φ的非单位元不动点。

推论4 设φ是群G的自同构，若G是有限群，则φ存在非单位元不动点⇔H｛x－1φ（x）｜x∈G｝是G的真子集。

证明 设G＝｛x1，x2，…，xn｝，则

（⇒）显然H是G的子集，由定理9知，存在

（⇐）若不存在非单位元不动点，则当φ（x）＝x这与H是G的真子集矛盾，故φ存在非单位元不动点。

定理10 设φ是群G的自同构，φ2＝1G，|G|是大于1的奇数。则φ存在非单位元不动点⇔存在a∈G，使得φ（a）≠a－1。

证明 （⇒）设x是φ的非单位元不动点，则φ（x）＝x，x≠e。若φ（x）＝x－1，则有x＝x－1，于是有x2＝e，从而|x|≤2，由|G|是奇数可得|x|＝1，即x＝e，产生矛盾。故φ（x）≠x－1。

（⇐）因为|G|是奇数，所以（2，|G|）＝1，从而存在u，v∈Z，使得2 u＋|G|v＝1。于是由定理1及定理2，有

即ax是φ的不动点。

若ax＝e，则有a－2＝x2＝a－1φ（a），从而有a－1＝φ（a），这与已知φ（a）≠a－1矛盾，故ax是φ的非单位元不动点。

推论5设φ是群G的自同构，φ2＝1G，|G|是奇数。则∀a∈G，存在y，z∈G，使得a＝yz，其中φ（y）＝y，φ（z）＝z－1。

证明 若 |G|=1，则G＝｛e｝，且 e＝ee－1，其中φ（e）＝e，φ（e－1）＝e－1。

若|G|是大于1的奇数，则∀a∈G，存在整数u，使得a－1φ（a）＝［a－1φ（a）］2u，令x＝［a－1φ（a）］u，y＝ax，z＝x－1，则a＝yz，且由定理10得充分性的证明可知φ（y）＝y，φ（z）＝z－1。

推论6 设φ是群G的自同构，φ2＝1G，|G|是奇数。若φ不存在非单位元不动点，则G是交换群。

证明 由推论5，∀a∈G，存在y，z∈G，使得a＝yz，其中φ（y）＝y，φ（z）＝z－1。由条件知y＝e，于是a＝z，从而有φ（a）＝a－1。

由此可得，∀b，c∈G，有（bc）－1＝φ（bc）＝φ（b）φ（c）＝b－1c－1＝（cb）－1，即bc＝cb，故G是交换群。

定理11 设φ是群G的自同构，G＝（a）是无限阶循环群。则φ存在非单位元不动点⇔φ＝1G。

证明 （⇐）显然。

（⇒）设φ（a）＝ak，am是φ的非单位元不动点，则m≠0，且

am＝φ（am）＝［φ（a）］m＝（ak）m＝akm。因为a得阶无限，所以m＝km，从而k＝1，于是φ（a）＝a。

∀an∈G，有φ（an）＝［φ（a）］n＝an，即群G的每个元素都是φ的不动点，故φ是G的恒等变换。

[1]张禾瑞.近世代数基础（修订本）[M].北京：高等教育出版社，1978.

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Fixed Point of Automorphism of Group

LIN Da－hua
（Departmentof Mathematics，Minjiang University，Fujian Fuzhou，350108）

This paper introduces the definition of the fixed point of automorphism，makes preliminary research about properties of the fixed pointand the existence of the non－identity fixed pointof automorphism，and some results are ostained.

group；automorphism；fixed point 〔责任编辑 高海〕

B842.1

A

1674－0874（2012）02－0001－02

2012-02-10

林大华（1959－），男，福建福州人，副教授，研究方向：群论。