基于亥姆霍兹方程最小二乘法的运动声源识别研究

杨德森，郭小霞，时胜国，胡 博

(哈尔滨工程大学 水声工程学院，哈尔滨 150001)

有些噪声源是伴随运动产生的，使得它们的辐射噪声带有多普勒效应，传统的声源识别方法对此类噪声源失去了作用，很难有效的识别定位噪声源。鉴于近场声全息不仅能用二维信息重建出三维空间的声场量，而且由于利用了瞬逝波信息，还具有高空间分辨率，能够准确重建声场量等优点，国内外学者展开了对声全息方法在运动声源识别中应用的研究。

在国外，Kim和 Park等［1－5］利用移动框架技术对行驶车辆的声场进行了分析，并且应用于车辆加速运动的声场研究中，同时针对相位误差比幅值误差更容易引起辐射声场发生扭曲变形的问题，提出通过修正系数来降低声源移动速度所产生的相位误差的方法。Ruhala和Swanson［6］进行了运动介质中的平面声全息技术研究，提出了适用于运动介质的格林函数形式。在国内，杨殿阁、罗禹贡等［7－8］提出了基于近场声全息理论的运动声源识别方法，采用时域多普勒消除原理和近场声全息重建原理对运动声场进行重建分析，以上研究都实现了对运动声源的准确识别。整体上看，运用声全息方法对运动噪声源的研究都是通过对信号进行消除多普勒效应处理后，运用合适的重建公式重建噪声源的声场信息。

考虑到移动框架技术可以快速得到空间离散采样点，并且HELS方法是适用于任意形状声源的重建方法，具有实现过程简单，计算量小且重建结果精度高等特点［9－12］。本文建立一种组合算法，应用于任意形状运动声源的声场重建。该方法首先利用移动框架技术分析获得已完成幅值及相位修正的空间离散声压值，然后运用HELS方法对声场进行重建，完成对任意形状运动声源的声场分析。

1 基本原理

1.1 移动框架技术

本方法引入三个坐标系，见图 1［1－2］。

图1 测量坐标系Fig.1 The measurement of coordinates

假设图中(x，y，z)为参考坐标系，(xm，ym，zm)为水听器阵所在的测量坐标系，(xh，yh，zh)随目标运动的全息面坐标系。对于任意时刻t，三个坐标系中的各个值之间满足以下关系:

定义测量坐标系与全息坐标系的相对速度为:um/h=um－uh，三个坐标系下的声压满足:

其中pmic(xm，ym，zH;t)表示水听器测量的声压;phol(xm+um/ht，yh，zH;t)表示全息面的声压。大多数情况下令xm=0，此时水听器固定不动而目标运动，式(2)可简化为:

可以看出上式给出了测量信号与全息坐标系的关系，等式的左边是水听器接收的随时间变化的声压信号，信号中存在多普勒频移，等式的右边是与测量信号在时间上相对应的全息坐标。为进一步分析水听器测量的声压与全息面的声压在空间上的内在关系，对全息面上的声压作时域傅里叶变换:

式中的Phol表示频率为fh的声压的空间分布。对其作空域傅里叶变换得到声压的空间波数谱:

式(6)就是移动框架技术的基本理论公式。式(6)左边表示测量信号的时域傅里叶变换，右边的被积函数表示波数谱在x方向的多普勒偏移。

然而这个方法只适用于单频率的声源，当声场是由一个单频的点声源发出的，则式(6)可简化为:

对式(7)作时域反傅里叶变换:

将式(8)代入式(7)可得:

这是移动框架技术的重要推导式，该式说明:当已知声源频率时，全息面上声压的空间分布值可由水听器接收的时域信号乘以ej2πfht获得。可见移动框架技术能够快速的将时域信号转化为空间平面离散点的信号，满足HELS方法的数据要求，就可以将该处理后的数据作为HELS方法的输入，构成基于运动声源的组合HELS算法。

1.2 HELS算法

在密度为ρ0，声速为c的无限流体介质中，考虑任意结构体的声辐射。参考上节坐标系，利用HELS方法我们可以写出任意点的声压p(，ω)［9］:

其中Ψj是坐标系下的基本函数。例如在球坐标系下Ψj可以写成:

其中k=ω/c为声波数，hn是球汉克尔函数，Pn，l是连带勒让德函数，变量 j，n，l的关系为:j=n2+n+l+1，l由－n变化到n。

如果矩阵是病态的，方程(12)可以通过奇异值分解求解，否则，可以利用广义求逆的方法求得系数Cj，表示为:

一旦明确了系数Cj，就能够利用方程(10)重建声压。

2 仿真研究

选取最有代表性的点声源进行仿真研究，仿真模型如图1所示，有一点声源以1 m/s的速度由原点沿x轴向x轴正向做匀速运动，运动时间为1.6 s，即x轴的扫描范围为(0－1.6 m)，定义声源与测量线阵的最小距离为测量距离:zm=0.1 m(λ/6)。用一个固定的12元均匀线阵采集含有多普勒效应的时域信号，水听器间隔为0.075 m(λ/8)，线阵几何中心的位置坐标设为(x=0.8，y=0，z=0.1)，则 y 轴方向的扫描范围为(－0.412 5 m－0.412 5 m)，相当于声 源 的位 置 为(x=0.8，y=0，z=0)。双声源时两个声源的位置为(x=0.6，y=－0.2，z=0)与(x=1，y=0.2，z=0)。为了比较声场重建精度，假设静止声源几何中心与线阵几何中心都位于z轴上，并将正横距离zh=0.05 m平面上的声压值作为理论值。

为了直观的表示声场重建精度，令ps为测量得到的声压理论值，pr为计算得到的声压重建值，定义声压幅值的相对百分比误差为:

表1 单声源不同频率时的声场重建声压幅值误差Tab.1 Reconstruction error of sound pressure as different frequency from single source

由表1可以看出该组合算法尤其适用于球形声源，声场重建精度很高，可以分析的声源频率范围很宽，因为HELS方法是基于球面波叠加近似声场的原理，对于单个点声源和球形声源能够得到很高的相似度也就能够获得很高的声场重建精度。

表2 双声源不同频率时的声场重建声压幅值误差比较Tab.2 Reconstruction error of sound pressure as different frequency from double sources

由表2可以看出当声场为存在多个噪声源的复杂场时，该组合算法对声源的频率有一定的限制，只能够较准确重建声源频率小于等于2.5 kHz的声辐射场，但是能够保证准确识别定位噪声源，所以该组合算法能够分析任意形状运动噪声源的辐射声场。

3 试验研究

3.1 运动声源全息试验测量

本试验在消声水池中进行，测量模型的参数选取与仿真研究一致。这里选取的频率为 2.5 kHz、3.15 kHz、4 kHz、5 kHz、6.3 kHz。参考上述的参数选取原则，该试验如图2，图3所示，

将球形发射换能器固定在一个吊放杆上，以它的几何中心为参考坐标系的原点，水面距声源1.8 cm，声源距离阵列正横位置的距离(z轴)为:zm=0.05 m(0.1 m，0.15 m)，阵列在 x 方向的运动范围为:－0.8 m∶0.8 m。首先在机械架的标尺上做好标记，经过多次测量得到运动走架运动速度为2.67 cm/s，因为速度误差对声场重建有很大的影响，所以要尽量保证运动走架为匀速运动。

按照已经设置好的坐标系，双声源分布情况为:(－0.2，0.2，0)和(0.2，－0.2，0)其中大球距离水面1.6 m，小球距离水面2.0 m，如图3所示。

3.2 试验数据处理与结果分析

3.2.1 单声源的重建结果

图4(a)、给出了单声源频率为2.5 kHz时的声场分布情况。图4(b)给出了声场中声压的重建分布图，可见该组合算法能够精确的识别定位噪声源。由表3可以看到重建声场的声压幅值相对误差均在10%以下，而且重建误差不随频率线性变化，只是在某一点有最小值，符合最小二乘法的特点。因为这次试验选用的是球形发射换能器，正符合亥姆霍兹方程最小二乘法(HELS)的适用范围，球面波叠加能够更好的近似声场，所以说该方法尤其适用于分析球形运动噪声源的辐射声场。

表3 不同频率时的重建声压幅值误差Tab.3 Reconstruction error of sound pressure as different frequency

图4 f=2.5 kHz的声压理论参考值与重建值Fig.4 Theoretical and reconstruction value of sound pressure at frequency f=2.5 kHz

3.2.2 多个声源的重建结果

由图5可以看出，多个运动声源的辐射声场较单个声源要复杂的多，不仅有声源还会出现叠加峰，此时运用组合声全息方法对声源频率有一定的要求:在该测量模型下，当声源频率小于等于2 500 Hz时虽然存在一定的幅值误差但是能够较精确的识别声源位置，重建声场的声压幅值误差为23.984 8%，但是当声源频率大于2 500 Hz时声场重建精度骤增，重建的声压分布不能反应两个声源的大小与位置，声场重建误差接近100%已经失去意义。这个结果与仿真研究相符，因为两个点源排列类似于一个长型声源，当声源比例偏离(1∶1∶1)时，球面波扩展的收敛速度减慢，所以已经不能完备的近似声场，所以获得的声场重建结果较差。

图5 f=2.5 kHz的声压理论参考值与重建值Fig.5 Theoretical and reconstruction value of sound pressure at frequency f=2.5 kHz

3.2.3 不同测量面大小的反演结果

对于运动声源来说，只要保证足够的运动时间就能够保证运动方向的测量面尺寸，所以这里只讨论阵列方向的长度对分析运动声场的影响。分别讨论当测量阵阵元个数为n=12，10，8，6个时的声压场重建精度及定位分析。假设两个声源面的大小为0.4×0.4，则这三种情况下测量阵方向上阵列面与源面的比值为:2.06，1.69，1.31，0.94。

图6 阵列面与源面之比为1.31时声压理论值与重建值Fig.6 Theoretical and reconstruction value of sound pressure as Sm/Sh=1.31

表4 不同测量孔径时的声场重建误差比较Tab.4 Sound pressure amplitude error under the different ratio of measuring surface and source surface

由图6可见，当测量面与声源面比值为1.31(低于声场变换声全息的要求)时就能够较好的识别和定位噪声源，由表4看到当两个面比值为2.06时声场重建幅值误差反而较小平面的误差稍大，这是因为该工况下研究的声源频率为2.5 kHz，此时测量环境已经不满足无限空间的条件，所以池底和水面的反射波对基阵两端阵元的测量信号影响较大，减小测量面时是去除了两端的阵元，相当于减小了反射声波对声场的影响，所以声场重建精度有小量的提高。而且两个面比值为1.69与1.31的声场重建结果相差不大，误差都仅为23%左右。试验结果表明该组合方法对测量面尺寸的要求比较低，。所以该组合声全息方法能够利用小孔径阵列获得较高的重建精度，为其工程应用提供了方便。

4 结论

本文研究了MFAH与HELS组成的组合声全息方法，并通过试验验证该方法能够实现对任意形状运动目标的噪声源识别定位及声场重建分析。通过选取不同参数的分析结果得出如下结论:

(1)该组合方法仅适用于较低频率，频率较高时传递矩阵的奇异性较严重得到的数值解也就越偏离理论值，误差越大。

(2)该组合方法能够重建任意形状噪声源的辐射声场，并且能够保证一定的重建精度。

(3)该组合方法对测量面的要求较低，测量面与声源面比值仅为1.3就能够获得较好的重建结果而且与两个面的比值为2的结果类似，能够实现小测量面、快速识别定位运动噪声源，这一优点非常有利于该组合声全息方法在工程中推广应用。

［1］ Kwon H S，Kim Y H.Moving frame technique for planar acoustic holography［J］.J.A.S.A.，1998，103(4):1734－1741.

［2］ Park S H，Kim Y H.An improved moving frame acoustic holography for coherent band-limited noise［J］.J.A.S.A.，1998，104(6):3179－3189.

［3］ Park S H，Kim Y H.Effects of the speed of moving noise sources on the sound visualization by means of moving frame acoustic holography［J］.J.A.S.A.，2000，108(6):2719－2728.

［4］ Park S H，Kim Y H.Visualization of pass-by noise by means of moving frame acoustic holography［J］.J.A.S.A.，2001，110(5):2326－2339.

［5］ Jeon J H，Kim Y H.Localization of moving periodic impulsive source in a noisy environment［J］.Mechanical Systems And Signal Processing，2008，22:753－759.

［6］ Ruhala R J，Swanson D C.Planar near-field acoustical holography in a moving medium［J］.J.A.S.A.，2002，112(2):420－429.

［7］ 杨殿阁，刘 峰，郑四发，等.声全息方法识别汽车运动噪声［J］.汽车工程，2001，5(23):329－331.

［8］ 杨殿阁，郑四发，罗禹贡，等.运动声源的声全息识别方法［J］.声学学报，2002，27(4):357－362.

［9］ Wang Z X，Wu S F.Helmholtz equation-least-squares method for reconstructing acoustic pressure field［J］.J.Acoust.Soc.Am，1997，102(4):2020－2032.

［10］ Wu S F.On reconstruction of acoustic pressure fields using the Helmholtz equation least squares method［J］.J.Acoust.Soc.Am，2000，107:2511－2522.

［11］ Isakov V，Wu S F.On theory and application of the Helmholtz equation least squares method in inverse acoustics［J］.J.Acoust.Soc.Am，2002，18.1147－1159.

［12］ Semenova T，Wu S F.On the choice of expansion function in the Helmholtz equation least squares method［J］.J.Acoust.Soc.Am，2004，117(2):701－710.

［13］ M莫尔斯等.理论声学(下册)［M］.吕如榆，杨训仁译.北京:科学出版社，1984，822－849.