小波时间序列在广州地铁沉降监测数据处理中的应用

李鹏，高波

(1.北京城建勘测设计研究院有限责任公司，北京 100101; 2.深圳地铁三号线投资有限公司，广东深圳 518000)

1 引言

城市地铁建设工程的基坑开挖必然会对附近的建筑设施产生一定的影响，一般需要对附近的建筑体进行沉降监测，建立合适的数学模型，对这些沉降数据进行分析。预测沉降发展趋势，掌握其动态变化规律，及时发现建筑体的不安全因素，合理安排和调整施工流程，排除危险因素的影响，以便能够达到地铁工程安全施工和减少经济损失的目的。

针对常规时间序列模型缺少对数据的可靠性检验的缺陷，本文尝试将小波分析与时间序列理论结合，提出了小波时间序列模型。并以广州市地铁沉降监测的实际工程为应用实例。通过对建筑体沉降数据进行分析，预测建筑体沉降趋势。同时对小波时间序列模型与常规时间序列模型进行对比分析，得出了具有应用价值的有益结论。

2 小波分析

2.1 小波分析理论

若 ψ(x)∈L2(R)，且满足条件［1］:

则ψ(x)为一个基本小波。将其伸缩和平移后得到一组小波序列

式中，a为伸缩因子;b为平移因子。

对于任意函数f(t)∈L2(R)，其离散小波变换为:

2.2 小波分解与重构

(1)分解:由多分辨率分析可以将被处理的信号用正交变换在不同的分辨级上进行分解。设以Vj表示分解中的低频部分，Wj表示分解中的高频部分，则Wj是 Vj在 Vj－1中的正交补，即 VJ⊕Wj=VJ－1。

(2)重构:多分辨率分析的子空间V0可以用有限个子空间来逼近:若令fj∈VJ代表分辨率为2J的函数f∈L2(R)的逼近(即函数f的低频部分)，而dj∈WJ代表逼近的误差(即函数f的高频部分)，则式(4)意味着:

这表明，任何函数f∈L2(R)都可以根据分辨率为2N时f的低频部分和分辨率2j(1≤j≤N)时f的高频部分完全重构［2］。

3 小波时间序列模型

3.1 小波分析与时序分析结合的形式

小波分析具有很强的多分辨分析，可以对变形监测数据的可靠性进行检验，故小波分析与时序分析的结合有两种形式:

(1)用小波变换对数据可靠性进行分析，进而消除数据中的异常值，然后将可靠数据进行时间序列预测。

(2)先使用小波对数据进行分解，将得到的低频数据直接使用时间序列处理;而将高频数据经过阈值处理之后，再用时间序列进行处理，最后有低频预测值与高频预测值经过小波重构得到变形监测的预测值。

3.2 小波时间序列模型

(1)高频部分重构信号的建模预测

由高频部分单支重构后的信号可以看做是平稳序列，可以直接构建时间序列模型，对 Dj:{dj1，dj2，…，djk}，(1≤j≤J)分别构建 AR 模型［3］:

其中 t=1，2，…，k。对每组信号 dj，k+i进行预测，得到预测值 ^dj，k+i。

(2)低频部分重构信号的建模预测

由低频部分单支重构得到的信号与样本序列具有相同的趋向，为非平稳序列，这样的信号不能直接建模，需要进行差分消去趋势项，才可以应用于时间序列中进行建模。建模及预测方法与细节系数单支重构信号相同。本文将逼近信号CJ的预测值记为 ^CJ，k+i。

(3)原样本序列预测结果

由式(5)可知原序列f(t)在k时刻的i步预测为:

其中J表示小波分解层数，i表示预测步长，k表示期数。

单支重构可以将经小波分解后的各层系数恢复到原样本序列的长度，保证模型的预测效果不因分解后系数点数的减少而降低。将各层分解系数单支重构的信号相加就可以得到原样本序列，即

其中J为小波分解层数，D1(t)、D2(t)、…、DJ(t)、CJ(t)为各层分解系数的单支重构。

4 应用实例

以广州市地铁站监测点的多期沉降监测数据为例，说明小波时间序列模型的预测效果及有效性，以某监测点的66期沉降监测数据为研究对象进行分析，该监测点的各期监测数据如表1所示。

某监测点各期的沉降监测数据成果表 表1

11 27.182 9 44 27.116 7 12 27.183 2 45 27.115 3 13 27.180 8 46 27.115 1 14 27.178 4 47 27.113 4 15 27.177 5 48 27.111 3 16 27.178 9 49 27.110 2 17 27.178 7 50 27.109 0 18 27.175 4 51 27.108 1 19 27.178 9 52 27.107 1 20 27.178 5 53 27.104 7 21 27.178 4 54 27.104 6 22 27.178 9 55 27.103 9 23 27.179 2 56 27.104 3 24 27.178 5 57 27.104 4 25 27.178 4 58 27.101 6 26 27.176 5 59 27.102 6 27 27.176 1 60 27.101 3 28 27.174 4 61 27.101 8 29 27.173 3 62 27.100 8 30 27.172 9 62 27.101 8 31 27.174 5 64 27.101 8 32 27.173 7 65 27.101 9 33 27.173 7 66 27.101 3

其沉降曲线如图1所示。

图1 沉降监测过程线图

4.1 沉降预测方法

用三种方法建立时间序列模型，并将预测结果进行比较，验证模型和方法的适用性及可靠性。

(1)沉降序列数据平稳化后［4］，构建AR模型进行预测。

(2)考虑样本序列可能存在粗差，使用小波分析对监测序列进行可靠性检验，将得到消噪后的序列进行时间序列预测，图2为经过小波消噪后的监测序列。

图2 小波消噪后的样本序列

(3)先把沉降序列数据用bior 2.8小波2层分解，得到低频有效数据和高频噪声数据，如图3所示。

图3 小波分解后的低频和高频信息

先对高频数据进行阈值消噪，然后对低频信号及各层高频信号分别构建时间序列模型进行预测分析。将各层信号预测值进行重构就得到对应于原始数据预测值。

4.2 预测成果比较分析

将三种方法得到的预测成果及比较结果如表2、表3所示。

三种模型预测成果 表2

三种方法比较结果 表3

由表2，表3可知:小波时间序列模型预测的最大误差为 0.4 mm，平均误差为 0.3 mm，模型精度为0.2 mm，优于其他两种模型。将三种方法预测结果绘成图4，可以更直观的看出三种模型的预测效果。

图4 三种预测方法比较图

5 结语

通过对安全监测数据实验结果进行对比分析，可以得出以下几点结论:

(1)小波对监测信号消噪可以得到有用信息，能够提高模型稳定性和可靠性。其效果比直接用带有粗差的数据序列构建模型效果要好得多。

(2)小波时间序列模型对建筑物安全监测数据进行预测，精度能够满足安全监测要求，可以应用在建筑物安全监测方面。所得到的预测结果精度要高于直接使用原始数据构造的时间序列模型的预测结果。

［1］袁娣.基于小波突变信号检测方法研究［J］.电子科学，2009(4):28～126

［2］文鸿雁.基于小波理论的变形分析模型研究［D］.博士学位论文，武汉大学，2004

［3］朱永全.时间序列分析在隧道施工监测中的应用［J］.岩石力学与工程学报，1996(15)

［4］石双忠.时序分析在变形监测数据处理中的应用［J］.工程勘察，2004(3)

［5］程正兴.小波分析算法与应用［M］.西安:西安交通大学出版社，1998

［6］冉启文.小波分析与分数傅立叶变换及应用［M］.北京:国防工业出版社，2002