基于充氩夫兰克-赫兹实验的非弹性碰撞模型

杨春沪，张素才

(上海电力学院数理学院 ，上海 200090)

基于慢电子和稀薄气体中的原子发生碰撞的夫兰克-赫兹实验揭示了原子内部能量的量子化效应，为波尔理论提供了直接有力的实验依据.1925年，科学家夫兰克与赫兹基于此项工作获得了诺贝尔物理学奖.该实验的内容是对原子的第一激发能级的测定，由于其涉及的过程比较复杂，使得定量研究存在一定的困难.文献［1］至文献［4］对定量测量的结果进行了分析、讨论和修正，使其更符合理论值.本文提出了一种新的模型来阐述电子与原子间非弹性碰撞的过程，并用该模型来确定原子的第一激发能级.

1 实验基本原理

夫兰克-赫兹实验的原理［1，5］如图 1 所示.在夫兰克-赫兹管中，电子通过第一栅极 G1进入G1G2区域，与管中的氩原子发生碰撞.当加速电压UG2k较小时，电子和原子的碰撞为弹性碰撞，损失的能量很小.当加速电压超过原子的第一激发电位时，电子和原子发生非弹性碰撞，碰撞后电子将动能部分或全部传递给被测原子，使其跃迁到第一激发态，而电子本身所剩能量很小，不能克服拒斥电压到达板极A，导致板极电流显著下降.由于原子内部能量是量子化的，因此板极的电流会随着加速电压的增加而发生规律性的起伏变化，如图2所示.

图1 夫兰克-赫兹原理

图2 板极电流的变化曲线

2 非弹性碰撞模型

在充氩夫兰克-赫兹管中，在加速电压UG2k的作用下，电子在G1G2区域内与氩原子发生碰撞的运动过程如图3所示.当电子的能量小于氩原子从基态跃迁到第一激发态所需的能量(即临界能量)时，电子和氩原子之间只发生弹性碰撞，由于两者的质量差距很大，因此电子损失的能量非常小;当电子的能量达到氩原子的临界能量时，电子和氩原子可能发生非弹性碰撞.当然在发生非弹性碰撞之前，电子所具有的能量和氩原子的第一激发能量必须非常接近.

图3 电子与原子碰撞原理

在非弹性碰撞前，电子所走过的平均距离称为平均自由程.如果电子在平均自由程的距离内没有与氩原子发生非弹性碰撞，则它在运动途中将继续获得能量，这就有可能使氩原子不仅被激发到第一激发态，而且可能被激发到更高的能级上去.这种情况会影响夫兰克-赫兹实验曲线，因此在分析实验数据时必须被考虑进去.

图4为一个自由电子在夫兰克-赫兹管从第一栅极G1到第二栅极G2区域内获得能量的过程.

图4 夫兰克-赫兹管从G1到G2区域内电子能量变化过程

图4a中，电子在加速电压UG2k的作用下，获得了氩原子第一激发能级Ea的能量后，又经过了λ的距离才到达第二栅极G2，在这段距离中，电子又额外获得了能量δ1，这增大了电子和氩原子的非弹性碰撞几率.在原子的第一激发能级Ea之上，有很多其他的能级存在并可能被激发，由此可以假设一个电子在发生非弹性碰撞后，失去了绝大部分的能量.图4b中的加速电压UG2k比图4a中的大，电子和氩原子发生了两次非弹性碰撞.电子在平均自由程λ的距离上获得的能量δ2大于δ1，在G1G2区域内获得的总能量为 E2=2Ea+2δ2.这种情况对应于夫兰克-赫兹实验曲线中的第2个谷值的位置.电子在发生第n次非弹性碰撞过程中，获得的总能量为:

在典型管压下，电子的平均自由程λ远小于两个栅极G1G2之间的距离L，即λ＜＜L，那么 δn＜＜ Ea，则有:

由式(1)和式(2)可以得到夫兰克-赫兹实验曲线中谷值之间的间距为:

由式(3)可以看出，随着n的增大，谷值之间的间距也随之增大，这与实验结果相一致.由式(3)还可以得到原子的第一激发能级:

由式(4)可知，第一激发能级的值为n=0.5时谷值间隔ΔE的大小.根据这个推论结果，在夫兰克-赫兹实验曲线图上无法直接计算得到第一激发能级的大小.在实验过程中，我们可以作出ΔE-n的关系图，在图中可以求出n=0.5时对应ΔE的值，即为Ea的大小.

3 实验结果与分析

本实验采用DH4507型夫兰克-赫兹实验仪，被测气体为氩气.最佳工作参量值为:灯丝电压UF=3.3 V，第一栅极电压 UG1k=2.2 V，拒斥电压UG2A=6.0 V.将仪器设定为自动扫描状态，记录下加速电压UG2k与板极电流IA的关系曲线图(扫描步进为0.2 V).根据UG2k-IA曲线图，可以得到图中6个谷值所对应的加速电压值，见表1.

表1 谷位序数与对应的加速电压实验结果

根据表1中的实验数据，利用非弹性碰撞模型可以作出夫兰克-赫兹实验曲线中对应的谷值间隔ΔE与谷值个数 n的关系图，见图5.根据ΔE-n的数据点，给出线性拟合直线，这符合非弹性碰撞理论模型中的式(3).根据式(4)可以计算出氩原子的第一激发能级Ea=11.31 eV(即n=0.5时，ΔE 的值);第一激发电位 Ua=11.31 V，与公认值11.5 V比较，相对不确定度为1.7%.

图5 谷值间隔ΔE与谷值个数n的关系

4 结语

本文对充氩夫兰克-赫兹实验IA-UG2K曲线中谷值间距随着谷值个数而线性增加的实验现象进行了研究，给出了非弹性碰撞模型，并得出了求得氩原子第一激发能级的新方法.应用这一模型对实验数据进行处理，最后求出的氩原子第一激发电位与公认值非常接近，不确定度为0.2 V.

［1］朱筱玮，陈永丽.充氩弗兰克－赫兹实验研究［J］.大学物理，2007，26(7):46-48.

［2］王梅生.弗兰克-赫兹实验中的峰间距问题［J］.物理实验，2001，21(11):40-43.

［3］陈发堂.充氖夫兰克-赫兹实验数据误差的修正［J］.上海电力学院学报，2006，22(2):181-183.

［4］胡芳林，唐泉清.Ar原子最外层8个电子的能级［J］.物理实验，2009，22(1):41-46.

［5］褚圣麟.原子物理学［M］.北京:人民教育出版社，1976:45-47.