非负矩阵最大特征值的新界值

贾利宁

(天津大学数学系，天津300072)

非负矩阵理论作为一种基本工具，被广泛地应用到数学的各个分支及其他科学领域，非负矩阵最大特征值的估计是非负矩阵理论的核心问题之一.如果其上下界能够表示为以矩阵为元素的易于计算的函数，那么这种估计的价值更高.

由Frobenius界值定理[1]知

同理对A的列和也有相同的结论.对于有非零行和的非负矩阵，H·Minc在文献[1]中把(1)

式进一步推广为:

引理1[2]设A=(aij)为n阶非负不可约矩阵，B=(A+1)n－1，其中I为n阶单位阵，则对任何正整数k有

1 界值定理

引理2[1]设 λ是矩阵A的特征值，分别是矩阵AT和A对应于λ的特征向量，则

引理3[1]若q1，q2，…，qn是正数，则对任意实数p，p2，…，pn，有

引理4[3]设A是n阶矩阵分别表示矩阵Ak的第i行的行和与第j列的列和，则

其中i，j∈〈n〉，s，k均为非负整数s≤k，且约定A0=I(I为单位矩阵).

定理1设A=(aij)为n阶非负不可约矩阵，r为A的最大特征值，分别表示矩阵A2k的第i行的行和与第j列的列和，且B=(A－ αI)n－1，其中 α=mini{aij}则对任意正整数k(≥1)，有

由引理2得

定理2设A=(aij)为n阶非负不可约矩阵，r为A的最大特征值分别表示矩阵A2k的第i行的行和与第i列的列和，且B=(A－ αI)n－1，其 中 α=mini{aii}则有与存在，且

证明 设x=(x1，x2，…，xn)T＞0，是矩阵A对应于r的特征向量，不妨设.因为B=(A－

αI)n－1，则有AB=BA，从而

把定理2中的行和改成相应的列和，结论依然成立.

若A是n(n≥2)阶非负可约矩阵，则由文献[2]中的§3知存在n阶置换矩阵P，使得

其中块对角线上每块Aii(1≤i≤m)或为不可约矩阵，或为一阶零矩阵.

2 数值算例

Frobenius 4≤r≤8 5≤r≤7行列Hinc 5≤r≤6.25 5.6≤r≤5.8572行列Ledermann 4.1547≤r≤7.8661 5.0800≤r≤6.9259行列Ostrowski 4.5275≤r≤7.6547 5.2247≤r≤6.8165行列Brauer 4.8284≤r≤7.4642 5.3722≤r≤6.7016行列引理1(k=2)5.7335≤r≤5.7564 5.7349≤r≤5.7484行列定理1(k=2)5.7411≤r≤5.7424 5.7416≤r≤5.7417行列

与引理1相比，定理1估计精确度大有提高，且逼近的速度较快.

[1]MINCH.Nonnegative Matrices[M].New York:Wiley，1988.

[2]殷剑宏.非负矩阵最大特征值的新界值[J].数值计算与计算机应用，2002，23(4):282－295.

[3]LIU SL.Bounds for the greatest characteristic rootof a nonnegative matrix[J].Lin.Alg.Appl.，1996，239:151－160.