一道调考试题结论的拓展与应用

● (黄陂区第一中学盘龙校区 湖北武汉 430312)

一道调考试题结论的拓展与应用

●李红春(黄陂区第一中学盘龙校区 湖北武汉 430312)

每年高三各地的调考试题，总会出现一些经典之作，它们如串串珠玑，精彩纷呈，极富代表性和示范性.对这些试题进行深入探索，挖掘其潜在价值，对其延伸拓展，既能有效激发学生的学习和研究兴趣，又有利于拓展想象力，提高思维的灵活性和实效性．笔者对2012年武汉市高三4月调考文科压轴题作了一些探讨，现整理成文，供大家参考．

1 试题的呈现

(1)求椭圆的标准方程；

(2)略；

从特殊到一般是发现新结论、创造新成果的重要途径，也是高考命题的常用手法.做完这道试题以后，笔者始终感觉意犹未尽，根据第(3)小题的题设条件，笔者深信这个问题一定隐藏着某种一般化的结论，于是在一番推理和演算之后得出了如下优美的结论(为行文方便，约定结论都是在存在的情况下展开讨论的)．

2 结论的拓展

图1

证明设A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4)，则直线AT的方程为

即

代入椭圆方程得

(1)

又点A(x1,y1)在椭圆上，故

即

代入式(1)整理得

于是

由y1≠0得

故

因此直线CD的斜率

(2)

y1x2-y2x1=m(y1-y2)，

代入式(2)得

因此

评注定理1的证明“看似寻常最崎岖，成如容易却艰辛”，其中“设而不求”思想和“整体法”的运用值得细心体会．

图2

图3

以美启真，这是数学发现和数学创造的一条重要途径.我们知道圆锥曲线间有着许多共同的或相似的性质，从统一美的角度看，抛物线也应有类似的结论．

证明设A(x1,y2),B(x2,y2),C(x3,y3),D(x4,y4)，则直线AT的方程为

即

代入抛物线方程得

因此

y1·y3=-2pt.

由y1≠0知

故

同理可得

因此直线CD的斜率为

(3)

设直线AB的方程为

x=ay+m，

代入y2=2px得

y2-2pay-2pm=0，

故

y1·y2=-2pm.

因此

评注从以上3个结论不难发现：在圆锥曲线方程确定的前提下，这2个定点的具体位置决定了2条直线斜率的比值．这一结论是多么的朴素而深刻，让人不得不叹服数学的神奇！

3 美妙的性质

特殊与一般是辩证的关系，我们对数学结论的探究既要善于从特殊到一般找到问题的“共性”，有时也要善于从一般到特殊找到问题的“个性”．既然在圆锥曲线方程确定的前提下，M,T这2个定点的具体位置决定了2条直线斜率的比值，而斜率互为相反数无疑是2条直线位置关系中一种极为特殊的情况，我们何不作一些特殊的探讨呢？

即

a2=tm.

图4

图5

同理，双曲线也有类似的结论：

图6

当直线AB与直线CD的斜率互为相反数时，它们的倾斜角互补.由图形的对称性可知，当直线AB⊥x轴时，直线CD⊥x轴时，它们的倾斜角依然互补，因此上述结论表征为满足条件时2条直线的倾斜角互补更为直观．

评注圆锥曲线中的焦点和准线在圆锥曲线性质中有着重要的地位，它们是圆锥曲线定义的基础，上面这3个结论不但让我们领略了焦点和准线在圆锥曲线性质中的重要地位，而且更让我们体会到数学中无处不在的和谐与统一美！

4 结论的应用

提出一个问题很多时候比解决一个问题更重要．事实上,由上面这些结论，我们可以编拟出很多精彩纷呈的好题，限于篇幅这里略举2例，有兴趣的朋友不妨多试试！

例1(文章开头的题目第(3)小题)

解取m=-2,t=1,a=3，由定理1的结论知

图7

解(1)由定理1知

即

a2=5c2，

故

通过对2012年这道武汉市高三年级4月调考试题结论的拓展与研究，不但领略到了调考试题的价值，而且也感受到了数学探究的乐趣.通过对这道调考试题的探究，从特殊中拓展出了一般性的结论，又从一般性的结论中发现出特殊的规律，而且体会到结论的应用价值，这些远远超出了起初解题时的预料！其实，许多高考和调考试题都凝结了命题者巨大的智慧和心血，它们有的立意高远，有的背景深刻，有的内涵丰富，有的创意新颖.在研究的过程中，我们可以丰富数学方法，学习朴素的数学原理，完成火热的数学思考，激发蕴藏的生命活力，使我们领悟解题方法，领悟解题思想，领悟问题的深层次联系，使解题能力和思维品质向更深和更高层次发展和升华！