一道2012年大纲全国卷高考试题的推广

● (华南师范大学数学科学学院 广东广州 510631)

一道2012年大纲全国卷高考试题的推广

●李海梅(华南师范大学数学科学学院 广东广州 510631)

2012年数学高考大纲全国卷理科第12题很有趣，与平时的打桌球游戏非常类似，题目如下：

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A.16 B.14 C.12 D.10

本题主要考查反射原理与三角形相似原理的应用，同时考查综合运用数学知识进行推理论证的能力.

参考答案：结合已知点E，F的位置，进行作图，推理可知，在反射的过程中，直线是平行的，那么利用平行关系作图，可以得到回到点E时，需要碰撞14次.

图1

图2

图3

用几何画板作图，如图1所示，从图1中可以看出，仅用尺规作图过程相当繁琐，一招不慎，满图皆乱，而且无法推广到一般的情形.

本文借助于物理中的光学知识，把点P的运动轨迹由折线化为直线，给出下文的解法并推广到一般的情形.根据入射角与反射角相等法则，光线走向(直线)按反射面(直线)翻折后与反射前光线走向(直线)应该是一条直线[1].图2所示为光线在正方形ABCD内的行进，图3所示为正方形ABCD的边按对称翻折后所作成的平面图形，可以把光线看成是直线行进的.因为点P每与正方形的边碰撞一次就会引起一次翻折，故由翻折的次数，可推出碰撞的次数.

解点P的运动可以看成光线在正方形ABCD内的行进.作出正方形的边按对称翻折后所作成的平面图形，如图4所示，可以把点P的运动看成是沿射线EF运动的.现证当点P运动到点G处时，点P第一次碰到点E，由图4可知，只需证AE=A′G即可.

图4

图5

对于一般的情形，经过笔者研究，可得出以下结论：

参考以上解法，可作如下证明.

因为(n，k)=1，所以(n-k，k)=1.又因为EI,GI皆为偶数，所以t必为偶数,令t=2i(i∈N*).当i=1时，即为点P第一次碰到点E,此时EI=2(n-k)，GI=2k，可得正方形ABCD向右翻折了2(n-k)次，向上翻折了2k-1次，故当点P第一次碰到点E时，点P与正方形的边碰撞了2n次.由对称性可知，分别与AB,CD碰撞了k次，分别与BC,AD碰撞了n-k次.

本文把原题的条件推广到了一般的情况，那么当AE与BF不相等的情况呢？当点P以任意的角度从点A出发，小球是否会回到点A？这些有趣的情况就留给读者去探究吧.

[1] 苟玉德.一道数学高考题的物理解法及启示[J].数学教学,2003(11):48-49.