酉矩阵CS分解定理的推广

史存琴

(陇东学院数学与统计学院，甘肃 庆阳 745000)

酉矩阵CS分解定理的推广

史存琴

(陇东学院数学与统计学院，甘肃 庆阳 745000)

根据强酉矩阵、行酉矩阵、列酉矩阵的定义，参考酉矩阵的CS分解定理，给出了强酉矩阵、行酉矩阵、列酉矩阵的CS分解定理，并用两矩阵商的奇异值分解讨论了等式约束不定最小二乘问题的一种新的算法。

酉矩阵;强酉矩阵;行酉矩阵;列酉矩阵; CS分解;等式约束不定最小二乘问题

从以上的定义中可知,当一个矩阵为强酉矩阵时,它一定同时为行酉和列酉矩阵,但当一个矩阵同时为行酉和列酉矩阵时,它并不一定是强酉矩阵,如：

尽管AAH与AHA均为对角阵,但AAH≠AHA。

2 酉矩阵的CS分解定理

式中,C=diag(C1,0);S=diag(S1,0);C1=diag(c1,c2,…,cl)(1≥c1≥c2≥…≥cl>0);S1=diag(s1,s2,…,sl)(1≥s1≥s2≥…≥sl>0)；C2+S2=I，l≤p。

定理2(矩阵商的奇异值分解(Q-SVD)[1]) 给定矩阵A∈Cm×n,B∈Cp×n,CH=(AH,BH),k=rank(C),则存在酉矩阵U∈Um,V∈Up,W∈Uk和Q∈Un，使得：

UHAQ=ΣA(WHΣC,0)VHBQ=ΣB(WHΣC,0)

式中，ΣC=diag(σ1(C),σ2(C),…,σk(C)),σ1(C),…,σk(C)为C的非零奇异值，ΣA,ΣB形如:

3 推 广

3.1强酉矩阵的CS分解定理

式中,C=diag(C1,0);S=diag(S1,0);C1=diag(c1,c2,…,cl)(1≥c1≥c2≥…≥cl>0),C=diag(C1,0);S1=diag(s1,s2,…,sl)(1≥s1≥s2≥…≥sl>0)；C2+S2=I，l≤p。

式中,C=diag(C1,0);S=diag(S1,0);C1=diag(c1,c2,…,cl)(1≥c1≥c2≥…≥cl>0);S1=diag(s1,s2,…,sl)(1≥s1≥s2≥…≥sl>0)；C2+S2=I，l≤p。

式中,C=diag(C1,0);S=diag(S1,0);C1=diag(c1,c2,…,cl)(1≥c1≥c2≥…≥cl>0);S1=diag(s1,s2,…,sl)(1≥s1≥s2≥…≥sl>0)；C2+S2=I，l≤p。

3.2行酉矩阵的CS分解定理

式中,C=diag(C1,0);S=diag(S1,0);C1=diag(c1,c2,…,cl)(1≥c1≥c2≥…≥cl>0);S1=diag(s1,s2,…,sl)(1≥s1≥s2≥…≥sl>0)；C2+S2=I，l≤p。

3.3列酉矩阵的CS分解定理

式中,C=diag(C1,0);S=diag(S1,0);C1=diag(c1,c2,…,cl)(1≥c1≥c2≥…≥cl>0);S1=diag(s1,s2,…,sl)(1≥s1≥s2≥…≥sl>0)；C2+S2=I，l≤p。

4 求解等式约束不定最小二乘问题的新算法

对等式约束不定最小二乘问题：

rank(B)=sxT(ATJA)x>0x∈null(B)

(1)

UHAQ=ΣAWHΣCVHBQ=ΣBWHΣC

(2)

AQ=UΣAWHΣC=(U1,U2,U3)ΣAWHΣC=(U1,U2SA)WHΣC

b-Ax=b-AQQHx=b-(U1,U2SA)WHΣCQHx=b-U2SAys-U1yn-s=f-U1yn-s

因此等式约束不定最小二乘问题就等价于不定最小二乘问题：

(3)

借助于两矩阵商的奇异值分解(Q-SVD)的求解等式约束不定最小二乘问题(ILSE)的新算法(Q-SVD-Cholesky方法)步骤如下：

步1 计算矩阵A,B的商的奇异值分解(2)。

步4 令f=b-U2SAys，用一次向后替代和一次向前替代解线性系统RTRyn-s=U1Jf。

[1]魏木生.广义最小二乘问题的理论与计算[M].北京:科学出版社，2006.

[2]秦应兵.强亚正交矩阵及其性质[J].大学数学， 2007，23(2):171-173.

[3]徐树方.矩阵计算的理论与方法[M].北京:北京大学出版社，1995：21-27.

[编辑] 洪云飞

10.3969/j.issn.1673-1409(N).2012.12.002

O175.2

A

1673-1409(2012)12-N003-03