钻柱轴向与横向耦合振动的有限元分析

闫 铁，王雪刚，李 杉，毕雪亮，韩春杰

（1.东北石油大学，黑龙江大庆163318；2.大庆油田有限责任公司采油工程研究院，黑龙江大庆163318） ＊

综上述可知，钻柱单元的线性变形描述为

式中，

由式（7）和式（8）可表示钻柱单元发生变形时的动能和势能为

钻柱轴向与横向耦合振动的有限元分析

闫 铁1，王雪刚1，李 杉2，毕雪亮1，韩春杰1

（1.东北石油大学，黑龙江大庆163318；2.大庆油田有限责任公司采油工程研究院，黑龙江大庆163318）＊

钻柱在钻井施工过程中的受力状况十分复杂，钻柱轴向与横向振动的耦合影响着整个钻进过程。以定向井钻柱为研究对象，利用有限元法建立了对整体钻柱进行受力分析的数学模型。在对钻柱单元进行线性分析的基础上，考虑钻柱横向振动对轴向变形的影响，建立了钻柱耦合振动的动力学方程，编制了计算程序，计算出了钻柱发生轴向与横向非线性耦合振动的共振频率。

钻柱；耦合振动；非线性耦合；定向井；共振

在钻井施工过程中，钻柱的振动情况复杂多变，是引发钻井事故的原因之一。钻柱的受力状况十分复杂，尤其在定向井稳斜钻进过程中，由于井底不平、钻头牙齿间歇压入岩石和岩石的间歇破碎，导致钻柱发生轴向振动；同时，由于钻柱偏心和井眼弯曲造成钻柱的横向振动。因此，钻柱轴向与横向振动的耦合影响着整个钻进过程，研究钻柱的耦合振动规律对钻井施工具有现实意义［1－3］。

1 钻柱耦合振动模型的建立

钻柱主要包括钻杆柱和底部钻具组合2部分。井底钻具组合部分主要由钻铤、减震器及钻头等组成。将钻柱进行力学模型抽象和简化，只考虑由钻杆和钻铤组成的简单杆柱系统，其模型如图1。根据钻柱形态，图1中1、2、3、…、n－1段为钻杆段，n为钻铤段。

图1 定向井钻柱模型

根据图1的简化模型可以建立相应的数学模型。在建立动力学模型时，作2个假设：

1） 钻柱与井眼内壁都是刚性的，且钻柱的横截面是圆环形。

2） 钻柱是微小变形的弹性体，并且钻进过程中，钻柱轴线只是略微偏离井眼轴线［4－7］。

2 模型求解

2.1 建立单元刚度矩阵和质量矩阵

在建立钻柱模型的基础上，选取任意的钻柱单元在局部坐标系下进行分析，单元端点编号为i和j，单元长度为l，钻柱单元如图2所示。

图2 钻柱单元分析

2.1.1 钻柱单元的轴向变形描述

根据杆单元的线弹性变形性质，设轴向变形函数为

钻柱单元轴向变形的初始条件为

可得钻柱单元的轴向变形描述为

式中，Nu为形函数，且

2.1.2 钻柱单元的横向变形描述

根据钻柱单元分析，钻柱单元发生横向弯曲变形时，单元有4个位移参数，设单元的横向变形描述函数为

钻柱单元横向变形的初始条件为

将式（5）带入式（4）得

式中，Niv、Niθ、Njv、Njθ为形函数，且

2.1.3 建立单元的刚度矩阵和质量矩阵

综上述可知，钻柱单元的线性变形描述为

式中，

为考虑钻柱单元轴向与横向运动的耦合效应，将钻柱单元横向变形引起的单元轴向变形叠加，钻柱单元横向转角引起的单元轴向变形为［8］

由式（7）和式（8）可表示钻柱单元发生变形时的动能和势能为

由式（9）和式（10）可知，钻柱单元的等效刚度矩阵和等效质量矩阵为

式中，ρ为单位长度钻柱的质量，kg／m；E为弹性模量，kPa；A为单元的横截面积，m2；I为单元的截面惯性矩，m4。

2.2 矩阵求解

2.2.1 坐标转化

为了建立整体钻柱的动力学方程，需要将钻柱单元的刚度矩阵和质量矩阵在局部坐标系下的形式转化为在整体坐标系下的形式。设单元部分与竖直部分的夹角为α，由节点位移矢量经坐标变换可得坐标转换矩阵为

式中，α为钻柱单元的井斜角；φ为钻柱单元的方位角。

通过矩阵转换可知在整体坐标系下，单元的质量矩阵和刚度矩阵为

2.2.2 整体坐标系下总体刚度矩阵与质量矩阵的迭加求解

将式（14）～（15）所得的整体坐标系单元矩阵进行分块，得到第i个钻柱单元的刚度矩阵和质量矩阵的分块矩阵。根据有限元分析的思想，将单元分块矩阵进行组合，得到整体钻柱分析的总体单元矩阵和刚度矩阵为

至此，建立的整体坐标下钻柱系统的运动方程为

式中，C为系统的阻尼矩阵；F为系统振动的激振力矩阵［9－10］。

为研究钻柱系统的结构性能，故求解钻柱的自由振动方程，得

由式（19）可得钻柱系统运动的频谱方程为

将矩阵M和K带入式（20）求解，可得无阻尼情况下钻柱系统的轴向与横向振动耦合时的固有频率矩阵为

主对角线上的数据即为各个阶数对应的钻柱固有振动频率数值的平方，进而得到各阶振动固有频率。钻井过程中要避免钻头处受到外界干扰而产生的振动频率接近钻柱系统的耦合固有频率ω。

3 实例分析

以大港油田某定向井为例进行分析。该井的设计数据为：井身剖面类型为直—增—稳—增—稳；造斜点为2 250m；设计方位角为0°；第1造斜率为2.4°／30m；第2造斜率为3°／30m；靶点测试深度3 721.8m；视平移712.6m；完钻深度3 791.8m。

在三开稳斜段所使用的钻具组合为：∅215.9 mm钻头×0.3m＋∅172mm导向马达（1.5°）×8m＋∅203.2mm稳定器×1m＋∅165mm无磁钻铤×8.5m＋∅165mmMWD×9.14m＋∅158.8mm钻铤×51m＋∅127mm加重钻杆×191.1m＋∅127 mm钻杆。

钻井参数：钻压50～80kN；排量28～32 L／min；泵压18～22MPa。

利用Delphi软件计算该钻柱轴向振动的振动频率，并与钻柱耦合振动的振动频率进行对比，如图3所示。

图3 滨X井钻柱的轴向振动和耦合振动频率对比

由图3可知：横向变形的发生使得钻柱耦合振动的频率分布趋于集中，非共振区域更加明显。这充分说明在钻井过程中，通过调整转速以降低共振损害具有可行性。

4 结论

1） 采用有限元法分析了钻柱轴向与横向的耦合振动，并考虑了横向变形引起的非线性变形因素，得出了钻柱轴向与横向振动耦合的规律。

2） 钻柱的轴向与横向振动发生耦合振动时振动频率与钻柱的本身材料性能有关，可以通过优选钻具避免共振的发生。

3） 在钻井施工过程中，应该调节转速，避开共振转速，降低钻柱受到的共振损害。

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Finite Element Analysis of Longitudinal and Lateral Coupled Vibration of Drillstring

YAN Tie1，WANG Xue－gang1，LI Shan2，BI Xue－liang1，HAN Chun－jie1
（1.Northeast Petroleum University，Daqing163318，China；2.Production Engineering Research Institute，Daqing Oilfield Co.，Ltd.，Daqing163318，China）

The force on the drillstring is very complex in the process of the drilling wells.The longitudinal and lateral coupled vibration of drillstring impact on the whole process of the drilling.Taking the direction well drillstring as study object，the finite element was used to establish thewhole drillstring model.On the basis of the linear analysis of the drillstring module，consideringthe lateral vibration on the effect of the axial deformation，the dynamic equation of coupled vibration of drillstring was deduced.The resonant frequency of nonlinear longitudinal and lateral coupled vibration of drillstring was obtained by a computer program.

drillstring；coupled vibration；nonlinear coupled；direction well；resonance

1001－3482（2012）03－0039－04

TE921.2；TE242

A

2011－08－30

国家科技重大专项（2011ZX05021－006）

闫 铁（1957－），黑龙江肇州人，教授，博士，主要从事石油钻井工艺研究，E－mail：yant＠dqpi.edu.cn。