矿区似大地水准面拟合模型适用性分析

肖 杰，张 锦

(1．中国科学院测量与地球物理研究所，湖北武汉430077;2．中国科学院动力大地测量学重点实验室，湖北武汉430077;3．中国科学院大学，北京100049;4．太原理工大学测绘科学与技术系，山西太原030024)

一、引 言

建立矿区似大地水准面模型的主要目的是要将GPS观测所获取的大地高转化为我国工程常用的正常高，从而替代劳动强度大、效率低的水准测量。将某一点的大地高转化为正常高，其关键是要知道该点的高程异常值。

高程异常的确定方法有重力法和几何法。重力法需要精度和分布较好的重力数据及地形数据，但由于我国重力数据较为稀缺及重力施测的难度和精度问题，限制了此方法的使用。几何法则是通过模型拟合高程异常曲面，然后用内插的方法获得待定点的高程异常值。由于所选模型的不同，产生了不同的拟合方法，基本可分为函数模型和统计模型。函数模型有多项式拟合[1-2]、多面函数法[3]及多种模型组合拟合[4]等;统计模型有加权平均法[5]、Kriging 方法[6]等，其实质都是对局部区域内似大地水准面的逼近。本文利用某矿区GPS/水准数据，通过对多种拟合模型拟合精度的比较分析，建立适合矿区的似大地水准面拟合模型，方便矿区测绘生产。

二、常用拟合模型

1．加权平均模型

加权平均模型的基本原理是：设有n个控制点，则高程异常ζ的计算公式为

式中，pi是已知点的权函数。

2．Shepard插值模型

Shepard于1964年提出了一种局部逼近模型，选定R＞0，并规定权函数为[7-8]

此方法是一种改进的加权平均法，需要合理选择R，使恰当数量的点(xi，yi)落入圆域中。权函数的光滑性和衰减性越好，曲面的拟合效果就越好。

3．三次多项式模型

多项式拟合模型在水准面拟合中是应用最多也是最普遍的，三次多项式拟合模型为[1]

式中，α0，α1，…，α9为多项式拟合系数;ζ为高程异常值，即GPS所测大地高与水准高程之差，单位为m;xm、ym为拟合区的中心平面坐标，单位为m。

4．多面函数模型

多面函数法[9-10]是Hardy于1977年提出的，该方法认为任何一个圆滑的数学表面总可用一系列有规则的数学表面的总和以任意精度逼近。

多面函数方程的一般形式为

式中，ζ可看做水准面拟合的高程异常值;ai为待定系数;q(x，y，xi，yi)为核函数，通常为 x、y 的二次函数，其表达式为

式中，(x，y)为待求点坐标;(xi，yi)为中心点坐标，即核函数结点坐标;δ2为光滑因子，用来对核函数进行调整;β一般可选某个非零实数，如 0．5、1、-0．5等，选0．5 时为正双曲面，选 -0．5 时为倒双曲面。

多面函数法中的核函数和光滑因子δ2对最终的拟合效果有非常重要的影响，文献[10]对光滑因子的选取作了详细介绍，认为相同的光滑因子正双曲面拟合精度高于倒双曲面拟合精度。除此之外，核函数结点的选择也是非常重要的，一般的原则是选择分布均匀：区域内具有代表性的特征点作为结点，不同的结点坐标和结点密度将直接影响最终的拟合效果。

当确定了以上各个参数，即可列出误差方程，用最小二乘法进行待定系数求解ai，其矩阵表达式用A表示，矩阵A的求解表达式可表示为

当计算出系数矩阵A后，即可通过式(3)求取各个点位的高程异常值。

三、矿区GPS/水准数据拟合

图1为某矿区控制点点位分布图，共191个控制点，均进行了不少于2 h的GPS静态观测和三等或四等水准观测。整个矿区控制网覆盖范围约1000 km2，矿区地形起伏较大，最大高差约517m。

为保证有足够精度的大地高，采用CGCS2000坐标系下约束平差后的大地高(用4个分布均匀的国家高等级控制点的CGCS2000坐标进行约束平差)代替WGS-84坐标系下的大地高。根据控制点的大地高和水准高程可以计算出各点的高程异常值。下面分别用上述4种拟合模型计算高程异常值。其中多面函数法经反复试算，选用62个分布均匀的控制点作为结点坐标。加权平均模型、Shepard插值模型、三次多项式模型亦选用此62个控制点作为已知点参与计算，其余点作为外部检核点。图2为参与解算的62个已知点点位分布图。

图1 矿区控制点点位分布图

图2 62个控制点点位分布图

图3为三次多项式模型内符合精度差值图，图4为加权平均模型、Shepard插值模型和三次多项式模型外符合精度差值图。

图3 三次多项式内符合精度差值

图5为多面函数法内符合精度插值图。多面函数法的拟合计算选某矿区的182个GPS/水准点参与拟合参数计算。图2为多面函数结点点位分布图，其中，光滑因子δ取0．01，β取0．5。经计算后，内符合检核点高程异常值计算结果与实测高程异常值(GPS控制点的大地高与水准观测的正常高之差，以下同)计算结果之差如图5所示，内符合检核点中差值的绝对值大于4 cm的点数有35个，差值最大的数值高达0．3m。

图4 加权平均模型、Shepard插值模型和三次多项式模型外符合精度差值

图5 多面函数法高程异常值计算结果与实测值之差

从以上4种拟合方法的计算结果来看，加权平均模型插值效果最差，Shepard模型较加权平均模型插值效果有极大提高。多面函数法是GPS/水准拟合中应用较多的方法，其结点坐标，δ、β值的选择对计算结果影响较大，需反复试算。4种方法的均方根误差(RMSE)见表1。

表1 4种方法拟合均方根误差 m

从表1中可以看出，三次多项式拟合方法的均方根误差最小。

四、组合拟合法

通过上述实例数据可以看出，在类似于某矿区这种大范围的、地形较复杂的地区单纯用一种方法来拟合整个矿区的似大地水准面，其拟合精度不够理想。根据似大地水准面的特性，可以把高程异常曲面分为中长波项和短波项，用不同的拟合方法分别进行拟合，然后组合在一起，这样可以发挥各种方法的优势，弥补其劣势，达到提高拟合精度的目的。

通常曲面的中长波项(即趋势项)是比较平滑的曲面，用多项式拟合即可很好地去除，剩余的部分即为短波项影响，一般由于地形的高低起伏等因素引起，用Shepard插值法或多面函数法即可很好地对剩余高程异常进行拟合。图6为用三次多项式去除趋势项，用Shepard插值模型拟合的结果与实测高程异常之差值比较，均方根误差±0．018m。

图6 组合法拟合结果与实测值之差

五、结束语

文中首先分别用加权平均模型、Shepard插值模型、多项式拟合模型及多面函数法4种方法对某矿区控制点的GPS/水准数据进行似大地水准面拟合，对4种方法进行对比分析和精度评定，在这种单独拟合的情况下，三次多项式拟合精度较其他3种方法较高。根据局部似大地水准面的物理和几何特性，用组合拟合法进一步改善了拟合精度，拟合均方根误差不超过±2 cm，表明此模型可以在地形起伏较大的矿区加以应用，结合GPS观测成果可以取代四等及以下几何水准测量。

[1]中华人民共和国国家质量监督检验检疫总局，中国国家标准化管理委员会．GB/T 23709—2009区域似大地水准面精化基本技术规定[S]．北京：中国标准出版社，2009．

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[3]陶本藻，姚宜斌，赵美超．论多面函数推估与协方差推估[J]．测绘通报，2002(9)：4-6．

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[5]张玲彬，武雁刚，张坤军．GPS水准加权综合拟合模型的应用研究[J]．黄河水利职业技术学院学报，2008(3)：37-39．

[6]李明，高星伟，文汉江，等．Kriging方法在GPS水准拟合中的应用[J]．测绘科学，2009(1)：106-107．

[7]黄友谦．曲线曲面的数值表示和逼近[M]．上海：上海科学技术出版社，1984．

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