单壁碳纳米管的电极耦合效应研究

王培培，丁星星，刘 虎，张 莹，杨林峰

（中原工学院，郑州450007）

单壁碳纳米管的电极耦合效应研究

王培培，丁星星，刘 虎，张 莹，杨林峰

（中原工学院，郑州450007）

利用紧束缚格林函数和计算机数值模拟方法，研究了单壁碳纳米管的电极耦合效应.计算结果表明，电极耦合强度直接影响系统的量子电导：在电极和中心单壁碳纳米管之间无耦合作用时，系统的行为呈现出理想的电导量子化特征，电导呈台阶式增长，最小电导为；在电极和中间单壁碳纳米管之间处于强耦合作用时，系统像个Fabry－Perot电子

谐振腔，表现出明显的量子电导快速振荡和背景缓慢振荡；而对于耦合较弱的情况，由于电子在界面处所受散射作用的增强，系统的电导降低；当耦合作用极其微弱时，系统达到量子电导振荡的极限，像个量子点，此时电子在输运过程中只能一个接一个地通过碳纳米管.

紧束缚近似；格林函数；单壁碳纳米管；量子电导

传统电子元件中电子的输运行为可以用经典扩散理论来描述，此时系统中电子的粒子性在输运过程中发挥主要作用.然而当电子元件的尺度变得非常小的时候，比如达到或接近电子的位相相干长度或者平均自由程时，电子的波动性将会在输运过程中发挥主导作用，系统的输运性质将会出现一些只有在量子力学系统中才会出现的波动效应.近年来被研究得比较多的介观系统，是能呈现这种从经典输运行为到量子输运行为的一种系统.单壁碳纳米管由于其尺度在几十到几百纳米之间，正是典型的介观尺度，因此其中电子的输运性质得到了广泛研究.本文将使用紧束缚近似下的格林函数方法来研究单壁碳纳米管与电极之间在不同耦合强度下的输运性质.

1 模型的建立

如图1所示，中间的一段单壁碳纳米管C通过左电极L和右电极R连接起来，且左电极和右电极也是由碳纳米管组成，且与中间碳管有相同的结构.将这三部分当成一个整体来处理，可以在紧束缚近似下写出

整个系统的哈密顿H：

图1 单壁碳纳米管测试示意图

中间碳纳米管的长度取为100nm，这个长度对于摇椅型碳管来说是405层碳原子，而对于锯齿型碳管来说是470层碳原子.Vppπ是跳跃能，这里取Vppπ＝2.75eV［1］，并令在位能为0；在电极与纳米管接触的界面处，考虑到电极－碳管之间的耦合效应，取跳跃能为α·Vppπ，α是耦合系数，0＜α≤1.于是中间碳纳米管的电导G就可以用朗道尔公式来计算.其中T是电子波的透射系数，采用Nardelli等人所用的方法［1］，T 可以表示为T＝Tr（ΓLGrCΓRGaC），其中GrC、分别为单壁碳纳米管的推迟和超前格林函数，ΓL、ΓR分别为左、右电极与中间碳管的耦合自能.中间碳纳米管的格林函数可以写为GC（ε）＝（ε－HC－∑L－∑R）－1，其中∑L、∑R分别表示左、右电极的自能，∑L

通过上述方法，计算在不同耦合系数α下左电极－单壁碳纳米管－右电极系统的电导G，其中考虑到摇椅型和锯齿型碳纳米管不同的输运性质，中间的单壁碳纳米管分别取 （5，5）摇椅型和（9，0）锯齿型.结果如图2所示.

图2 不同耦合系数下的系统电导G和费米能量的关系

2 结果讨论

2.1 α＝1.0时的情况

α＝1.0时的情况对应于理想耦合的情况，即此时两端电极的结构与中间碳纳米管的结构完全相同，电子在碳管－电极的界面处并未受到散射.由图2（a）可以看出，此时的电导呈现量子化的特征，系统的最小电导是而且以为最小单位呈现台阶化增加或者降低

趋势.这正是Landauer公式的结论.对于单通道系统，Landauer公式中的G0＝2e2／h，是系统的最小电导值，对应的电阻为12907欧；对于多通道系统，其电导正比于其电子的通道数，是G0的整数倍.单壁碳纳米管在费米面附近有成键态和反键态2个能带，因此单壁碳纳米管有2个通道，整个系统的最小电导就是2G0＝4e2／h.实验技术的发展使得人们能够在实验室中观察到接近该量子极限的电导2G0＝4e2／h［2－3］.

2.2 α＝0.8时的情况

对于实际系统，一般来说接触界面处的耦合并不是理想的，因而耦合系数α＜1.0，电子在界面处会因为受到散射而导致电导率的降低，从而使电阻增加.图2（b）所示是取一个较强的耦合系数α＝0.8所得的结果.从2（b）可以看出，此时系统电导的台阶化情况完全消失，取而代之的是电导出现了明显的快速振荡.对于长度为100nm的单壁碳纳米管，快速振荡的周期为ΔE≈0.018eV，与实验数据相符，同时也与理论预测值符合得很好［4］.这也表明电子只在电极－碳管的接触界面处受到散射；而在中间碳纳米管区域，电子几乎不受任何散射，作弹道式运动.除了明显的快速振荡外，所有非锯齿型的金属型单壁碳纳米管还会出现叠加在背景上的缓慢振荡.

普遍的快速振荡是由于电子波函数之间的相互干涉造成的，此时单壁碳纳米管中会出现类似于Fabry－Perot装置中光的干涉的现象，这种耦合系数较大的系统也称单壁碳纳米管电子共振腔.缓慢振荡的周期受门电压Vg的调制，且与费米能量E成反比，与碳管中存在的杂质和碳管—电极之间的耦合强度无关，但是与中间碳纳米管的长度L有关.考虑到在计算中，中间碳纳米管的结构是完整的，并不包括杂质或缺陷，因此这种缓慢振荡背景只能解释为碳纳米管的固有属性.事实上，快速和慢速振荡的区别，可以从费米面附近的能量色散关系来解释.对于金属型单壁碳纳米管，在费米面处有成键态π通道与反键态π＊两个通道，若考虑在费米面附近的色散关系，将E（k）展开成k－kF的幂级数，准确到（k－kF）2项，可得：

对于第一项k－kF线性项，E（k）与螺旋角θ无关，为通过kF的2条交叉直线，此时2个通道的色散关系相同.当系统电极的透射系数T≠1时，界面处的相互作用会使π通道与π＊通道耦合起来，π通道的电子波会被散射到π＊通道，反之亦然.在单壁碳纳米管的电导图中，正是这个能量色散关系的线性项导致了快振荡.

而对于第二项（k－kF）2项，E（k）与螺旋角θ有关，这个高次项使2个通道的色散关系有所不同.也正是这个色散关系的非线性项，导致了快振荡的慢振荡背景［5］.

图2（b）中还有一个值得注意的现象，即摇椅型碳纳米管的电导振荡包括快速振荡和缓慢振荡两部分，锯齿型的碳纳米管则只有快速振荡.进一步的研究表明，所有的金属型单壁碳纳米管电子共振腔都会表现出量子电导的快速振荡，但是锯齿型的单壁碳纳米管电子共振腔不会有背景的慢振荡.它们的不同缘于它们在费米面附近不同的能量色散关系［6］.摇椅型碳纳米管在费米面附近的色散关系是抛物线型的，锯齿型的碳纳米管在费米面附近的色散关系却是线性的.正是这个重要的差别，导致了其在输运过程中的不同特点.

2.3 α＝0.4时的情况

对于更弱的耦合系数α＝0.4，所得结果如图2（c）所示.相比于α＝1.0和α＝0.8的情况，可以发现，无论是对于（5，5）摇椅型还是（9，0）锯齿型碳纳米管，其电导总体上来说都降低了.这可以作如下解释：在耦合效应变弱时，电子在界面处所受到的散射作用变大，系统的量子电导将会随耦合系数的减弱而变小.由图2（c）还可以发现，对于（5，5）摇椅型单壁碳纳米管，其在较强耦合系数下出现的背景缓慢振荡现象消失了，而且费米能量越高，电导降低得越明显.原因在于较大的费米能量将会给予电子较大的能量，使得电子在受到散射时会有更高的几率被散射到较高的能级中去，从而使得系统电导降低.而对于（9，0）锯齿型碳纳米管，其电导虽然也降低，但是电导的振荡图样并未出现太大的变化.

2.4 α＝0.01时的情况

图2（d）显示了对于耦合效应极弱的情形α＝0.01.可以看出，此时系统的电导不再呈现连续的特征，而是只在一些离散的点上才具有一些有限的电导值；而对于大部分能量区域，系统的电导为0，也就是在这些能量区域，系统的电阻无限大.这就意味着此时电子不能通过单壁碳纳米管.这时系统的行为像个量子点，它是电导振荡的极限.对于量子点系统，其输运过程表现出了更为奇特的特征：电子在通过量子点时，不能集体连续地通过，而只能一个接一个地通过，这就是量子点输运过程中的库仑阻塞效应.通过一些外加条件，可以在量子点系统中产生直流单电子隧道振荡现象，这将使对单电子输运过程的控制成为可能，因而在未来的量子计算机中具有很大的应用价值.

3 结 语

我们利用数值计算验证了在不同电极耦合系数下的单壁碳纳米管的电导.数值计算表明，在电极和中间单壁碳纳米管之间无耦合作用时，系统的行为呈现出理想的电导量子化特征，电导呈台阶式增长，最小电导

用时，系统像个Fabry－Perot电子谐振腔，表现出明显的量子电导快速振荡和背景缓慢振荡；而对于耦合较弱的情况，由于电子在界面处所受散射作用的增强，系统的电导降低；当耦合作用极其微弱时，系统达到量子电导振荡的极限，像个量子点，此时电子在输运过程中只能一个接一个地通过碳纳米管.

［1］ Nardelli M B.Electronic transport in extended system［J］.Phys.Rev.B，1999，60：7828－7833.

［2］ White C T，Todorov T N.Nanotube go Ballistic［J］.Nature，2001，411：649－650.

［3］ Liang W，Bockrath M，Bozovic D，et al.Tinkham，＆ H.Park，Fabry－Perot Interference in a Nanotube Electron Waveguide［J］.Nature，2001，411：665－669.

［4］ Yang L，Chen J，Yang H，et al.Quantum Interference in Nanotube Electron Wave Guide［J］.Eur.Phys.J.B，2005，43：399－402.

［5］ Jiang J，Dong J，Xing D Y.Quantum Interference in Carbon Nanotube Electron Resonators［J］.Phys.Rev.Lett，2003，91：056802－056804.

［6］ Yang L，Chen J，Yang H，et al.Coherent Transport Through Intramolecular Junction of Single－wall Carbon Nanotubes［J］.Eur.Phys.J.B，2003，33：215－219.

Study on the Electrical Contacts Coupling Effect on Single－Walled Carbon Nanotube

WANG Pei－pei，DING Xing－xing，LIU Hu，ZHANG Ying，YANG Lin－feng
（Zhongyuan University of Technology，Zhengzhou 450007，China）

The electrical contacts coupling effect on a left lead／central single－walled carbon nanotubes／right lead system is studied by using the tight binding Green function approach.The conclusion showes that at ideal coupling strength between electrical contact and central SWNT，the quantum conductance of the system goes up as steps at strong coupling strength between electrical contact and central SWNT，the system behaves as Fabry－Perot electron resonator，which can show distinct quantum conductance oscillations and complicate background as the Fermi energy is driven by the gate－voltage Vg，the shape of conductance background is dependent on the contacts coupling strength and the chirality of SWNT.For very weak contacts coupling strength，the system presents well defined resonant peaks，which is the limit of the quantum conductance oscillations.

tight binding approach；Green function approach；single－walled carbon nanotubes；quantum conductance

TB383.1

A

10.3969／j.issn.1671－6906.2012.05.002

1671－6906（2012）05－0007－04

2012－05－31

国家自然科学基金项目（50977093）

王培培（1984－），男，河南济源人，硕士生.