非惯性参考系下的惯性力应用

黄开智 陈宏

(姜堰二中 江苏 泰州 225500)

1 引言

高中阶段，对于牛顿第二定律的应用一般是在惯性参考系中进行的，其实伽利略早在牛顿定律问世之前，就已经通过观察和实验论证了在力学规律面前任何惯性参考系都是平等的结论．如此，在运用牛顿运动定律时，选择惯性参考系似乎就成了“必然”．但一味选择惯性系来分析问题，有时会显得单薄，且分析过程繁琐不堪，甚至是无法求解．面对这种尴尬境况，如果把参考系从惯性系变为非惯性系，出现的困境将会得到迎刃而解．非惯性系一般分为直线加速参考系和转动参考系，本文主要介绍了直线加速参考系下惯性力的应用．

2 非惯性系下的惯性力的引入

若选择的参考系相对于惯性系运动，对于固定在该参考系中的直角坐标系的原点做变速直线运动，且各个坐标轴的方向保持不变，该参考系就称之为直线加速参考系，为非惯性系．

如图1所示，刚开始，小车静止，置于车内光滑水平面上的小球保持静止状态．此时，若小车相对于地面以加速度a向右做加速直线运动，从地面上观察，小球水平方向不受外力作用，故相对地面始终保持静止状态．若选择小车为参考系，则小球以加速度-a向左做加速运动，此时可以假设有一力F*作用于小球，其方向与小车相对于地面加速度的方向相反，其大小等于小球质量m与加速度a的乘积，即F*=-ma，该力称之为惯性力．因此，在非惯性系下，仍然可以沿用牛顿第二定律的形式，小球的加速度-a是由于惯性力F*作用于小球而产生的．它不同于相互作用力，首先，惯性力不是物体真实所受到的力，惯性力没有反作用力；其次，相互作用力无论是在惯性系还是非惯性系，都能够观测到，而惯性力只存在于非惯性系中．

图1

3 非惯性系下质点动力学方程的不变性

定义相对于非惯性系运动的质点A的运动称之为相对运动，相对于地面(惯性系)的运动称之为绝对运动，在非惯性参考系中的直角坐标系O′相对于固定于地面的直角坐标系O的运动称之为牵连运动．如图2所示，可得到质点A相对于地面的位置矢量

r=r′+rO′

(1)

图2

按照经典力学的时空观，时间在O和O′具有同时性，因此上式两边同时对时间t求二阶导数，可得

a绝=a相+a

(2)

上式中分别表示质点的绝对加速度，相对加速度和牵连加速度，质点对于惯性系O有∑Fi=ma绝，代入式(2)则有∑Fi-ma=ma相，其中-ma表示质点在O′系中所受到的惯性力F*，于是

∑Fi+F*=ma相

(3)

上式表明，在直线加速的非惯性系中，质点的质量与相对加速度的乘积等于作用于该质点的相互作用力和惯性力的合力，从形式上看，保持了质点在惯性系中的动力学方程特点[1]．

4 惯性力的应用

【例1】升降机A内有一装置，如图3(a)所示，悬挂的两物体的质量各为m1，m2且m1>m2．若不计绳及滑轮质量，不计轴承处的摩擦，绳不可伸长，求当升降机以加速度a向下运动时，两物体的加速度分别是多少？绳子的拉力是多少？

图3

解析:该题要求解两物体的加速度，如果选择的参考系是地面，则对两物体而言，分别运用牛顿第二定律时，发现各自的加速度无法求解，此时运用式(2)的加速度运算关系才能求解；但如果一开始选择的参考系是升降机(非惯性系)，则对两物体运用在直线非惯性系的动力学方程式(3)，则可轻易解出轻绳的拉力和各自的加速度．下面运用这两种方法，分别求解．

4.1 在惯性系下的求解

选择地面为参考系，则对m1，m2而言，其受力情况如图3(b)所示，设各自的加速度为a1，a2，向下为正方向，运用牛顿运动定律可得

(4)

设物体相对于升降机的加速度为a相，运用式(2)加速度关系式，则有

(5)

联立(4)、(5)方程组，得到两物体的加速度、相对于升降机的加速度和绳子的拉力为

(6)

4.2 在非惯性系下的求解

选择升降机为参考系，则对m1，m2而言，除了受重力和拉力之外还受到向上的惯性力，其受力情况如图3(b)所示，设各自的加速度为a1，a2，向下为正方向，非惯性系下的质点动力学方程式(3)可得

(7)

通过上式可以立即求得绳子的拉力相对于升降机的加速度为

(8)

接下来利用式(2)，求得物体的加速度

(9)

讨论：对比该题在惯性系下和非惯性系下的求解过程，不难发现在惯性系下分析时，容易出错，并且不好理解，但在非惯性系下，加上惯性力之后，保证了质点的动力学方程形式不变的前提下，更容易理解，比在惯性系下解题的思维要简单，且容易接受．

4.3 非惯性系下的求解示例

图4

【例2】如图4(a)所示，倾角为θ，质量为M的直角三棱柱放置在光滑的水平面上，现将一质量为m的光滑小物块放置于斜面上，求小滑块在下滑过程中，滑块和三棱柱的加速度大小？

解析:该题要求解两物体的加速度，同理，如果选择的参考系是地面，则对小物块而言，一方向相对于斜面做加速运动，另一方面斜面也在做加速运动，很难分析出其加速度的大小，因此该题选择斜面为参考系，此时小物块在斜面方向做加速运动，垂直斜面方向保持相对静止，则可以列出在非惯性系下的

动力学方程．

选择三棱柱为参考系，设t时刻物块相对于斜面的加速度为a相，相对于地面的加速度为am，三棱柱的加速度为aM，小物块和三棱柱的受力分析如图4(b)所示，于是可以得到小物块的动力学方程

(10)

解得

(11)

对于小物块而言，其加速度am=a相+aM，于是最终得到物块的加速度大小为

(12)

5 小结

在非惯性系中分析问题，有其独特的优势，可以简化分析问题的思路，优化解题步骤，但必须要正确处理惯性力，要抓住研究对象相对非惯性系的运动情况，在引入惯性力之后，正确列出动力学方程是关键．

参考文献

1 漆安慎，杜婵英.普通物理学教程.北京：高等教育出版社，2005.85～86