定量研究高中物理中一个经典的动力学模型

蔡亮

(南京市第十二中学 江苏 南京 210015)

动力学问题是高中物理中的重点和难点，也是高考命题的热点，因涉及面广、包含知识点多而备受命题者青睐．最近，笔者发现，文献[1～4]对其中的三个经典的动力学模型(机车恒定功率启动模型、雨滴下落模型和导体棒切割磁感线稳态模型)存在较大的争议.文献[1]认为导体棒切割磁感线的收尾速度不可能为一定值，最终不可能达到平衡态.文献[2]同样认为以上三个动力学模型最终不可能达到动力学平衡态，无法做匀速直线运动，永远处于加速状态；文献[3]也认为机车恒定功率启动时速度达到最大值时必须要经过无穷长的时间；文献[4]则是通过对恒定功率启动时机车运动规律的定量分析得出题设条件的不自洽性，遗憾的是无法通过图像直观反应出物体运动规律，只能通过特殊值代入法进行计算．本文就借助于Matlab强大的数值计算功能，定量研究机车恒定功率启动模型．

1 机车恒定功率启动模型

【例1】一辆质量为5 t的汽车以额定功率P=6×104W从静止开始启动，汽车受到的阻力为车重的0.1倍，启动后经过20 s达到最大速度．求：(省略)

假设机车从静止启动，以恒定功率P运行，机车所受阻力恒为f，质量为m，牵引力为F．

1.1 动力学方程

根据牛顿第二运动定律得

F-f=ma

等式两边同除以f，得

1.2 动力学图像

1.2.1 速度图像

图1

如图1所示，我们分别给出了机车恒定功率启动的速度变化曲线和其与无量纲的最大速度差值的变化曲线，可以看出在t*=4后，机车运动的速度已经无限接近最大速度了，尤其可以从速度和无量纲最大速度差值的变化曲线中看出，当t*=5时，差值仅为0.002 162．根据提供的数据，计算可得

和速度图像对比可知，题目给出的已知条件确实存在一定的问题，而在48 s以后，速度几乎和最大值重合，此结论与文献[4]一致．正如文献[1～3]所反应的问题，如果只是简单的把数学极限思想生搬硬套到物理问题环境中来，从而认为机车达到最大速度需要无穷长的时间，这未免有点舍本逐末了吧．

1.2.2 位移图像

图2

与此同时，我们还给出了机车运动的位移变化曲线，从位移图像(图2)的后面部分来看，在高中阶段难道我们否认物体是做匀速直线运动吗？如果否认这个结果，那么高中物理中的运动学图像不就都有问题了吗？对于其他类似模型，因问题本质一致，在此不做重复处理．所以我们认为这几个物理经典的动力学模型没有任何问题，只是需要注意题设条件的自洽性就可以了．

新课程注重与生产、生活和科技的联系，以实际的问题为背景叙述并设问，解决这样的问题，首先是基于物理概念和规律的学习，对于物理现象、物理过程、物理状态的深度理解，要让学生通过思维加工得到反映事物内在的必然的联系．因此，在教学中，我们总是基于某一实际问题，抽象出一个物理模型，需要教会给学生的是分析问题、解决问题的能力，而中学物理的各个模型又对各方面问题都有一定的近似和忽略，这种看似“无聊”的“不在乎”实际上是突出问题的主要矛盾，抓住问题的主要方面的一种辩证唯物主义方法．我们需要教会给学生的是对这种动态的动力学问题分析方法和哲学上的思辨过程(即加速度虽在减小，速度却在增大)，培养的是学生的思维能力和知识迁移能力，培养的是学生的创新能力．

2 Matlab程序代码

clear,tm=8;dt=0.001;t=0:dt:tm;

f=inline(′1/v-1′,′t′,′v′);

v0=0.000001;

[tt,v]=ode23(f,t,v0);

v2=1-v;

x=cumtrapz(v)*dt;

figure

subplot(2,1,1),plot(t,v,′LineWidth′,2),grid on

fs=12;title(′机车恒定功率启动的速度曲线′,′FontSize′,fs)

xlabel(′时间itt/ au′,′FontSize′,fs)

ylabel(′速度itv/v m_m′,′FontSize′,fs)

txt=′特征时间it au=itmitP/f m^2′;

txt=[txt′ m,最大速度itv m_mit=itP m/itf′];

text(1,0.35,txt,′FontSize′,fs)

%text(4,v,num2str(v),′FontSize′,fs)

subplot(2,1,2),plot(t,v2,′LineWidth′,2),grid on

title(′机车恒定功率启动的速度与无量纲速度最大值差值曲线′,′FontSize′,fs)

xlabel(′时间itt/ au′,′FontSize′,fs)

ylabel(′速度itv/v m_m-1′,′FontSize′,fs)

txt=′特征时间it au=itmitP/f m^2′;

txt=[txt′ m,最大速度itv m_mit=itP m/itf′];

text(1,0.65,txt,′FontSize′,fs)

figure

plot(t,x,′LineWidth′,2),grid on

title(′机车恒定功率启动的位移曲线′,′FontSize′,fs)

xlabel(′时间itt/ au′,′FontSize′,fs)

ylabel(′位移itx/v m_mit au′,′FontSize′,fs)

参考文献

1 卢艳.对三个问题的质疑.物理教学探讨(上半月),2004(6)

2 杨严辉.高中物理中的几个极限问题探讨.物理教师,2011(5)

3 詹国荣.恒功率启动运行物体的速度变化规律.物理教学,2012(5)

4 叶玉琴.对汽车以恒定功率启动的问题中题给条件不自洽的研究.物理教学,2011(10)