传感器位置对狭长空间定位精度的影响*

侯全武 王 坚 胡 洪 张 虹

1)中国矿业大学国土环境与灾害监测国家测绘局重点实验室，徐州 221116

2)中国矿业大学环境与测绘学院，徐州 221116

3)石家庄机械化步兵学院图书馆，石家庄050000

1 引言

近年来，传感器定位技术已经成功应用于室内与井下，但定位精度较差，没有达到精确定位所需的精度。类似全球定位系统(Global Positioning System，GPS)定位原理，当卫星信号少于4 颗时，不能精确定位。同理，传感器精确定位技术需同时接收4 个传感器信号［1］。本文以隧道定位为例分析狭长空间中三维完全覆盖问题。隧道与井下巷道一般为狭长线形空间，因此只能沿着隧道以确定位置的方式来放置传感器，同时需确保空间中任何角落能同时接收4 个传感器信号，这样才能有足够的精度定位［1－3］。网络覆盖问题已有很多研究，如田丰等［3］提出一种K 重覆盖无线传感器网络部署策略，但该方法并没有实现空间中4 重三维完全覆盖，定位精度较低，可靠性差;周公博［4］提出分层拓扑控制策略布设传感器，同样没有实现三维完全覆盖。

其次，传感器布设的间距、高度不同，定位精度也有明显差异。文献［5，6］基于到达时间差(TDOA)定位技术，利用精度因子(Dilution of precision，DOP)分析了四个传感器布设在不同位置对二维平面定位精度的影响，得出传感器位置变化对定位精度有一定影响;文献［7］基于到达角度(AOA)定位技术，分析了两个传感器时，DOP 值的变化规律;文献［8］基于到达时间(TOA)定位技术，利用DOP 值对无线传感器网络定位误差进行分析并改进;文献［9］基于绝对定位、伪距定位、TDOA 技术，利用DOP 值分析在火灾救援过程中，传感器布设高度对定位精度的影响。

因此实现狭长空间中精确定位，第一要使传感器4 重三维覆盖每个位置;第二要选择合适的精度评价指标，在布设好传感器后，分析隧道中定位精度的分布情况。若精度没有达到设计要求，可根据定位精度分布情况，优化布设方案，直到满足为止。本文将从这两方面研究狭长空间的定位精度。

2 三维完全覆盖

1)隧道平面完全覆盖(图1(a))。

设a、b、c、d 为四个传感器位置，B 为隧道宽度，各传感器感知半径为R(一般R 大于B)，L 为可以被覆盖区域的长度。

由图1(a)易知:

式(1)的物理意义为覆盖区域中所有点与传感器的间距小于半径R。由于传感器对称地布设于隧道两侧，为简化分析，只标出隧道一侧的传感器覆盖区域。由图1(b)可知，当布设六个传感器时，只有c传感器放于合适的位置，才能使以c 为圆心，半径为R 的圆通过d 点，此时覆盖面积达到最大。另外，无论传感器间距如何变化，六个传感器所能覆盖的最大面积为定值，覆盖长度为L1+L2。

图1 传感器覆盖原理Fig.1 Principle of sensors coverage

根据式(1)得:

2)隧道三维完全覆盖(图1(c))

设abcd 为传感器放置平面，并放置于四个直角点，传感器与隧道顶部距离为be，如果be=h，则传感器与隧道底部距离为H－h。图中h ＞H－h，阴影部分为四个传感器全部覆盖区域的投影面，cb 垂直于eb，ef 垂直于ec，根据解析几何原理知:

因此，传感器覆盖区域的长度与感知半径、隧道宽度、传感器高度有关。

3 定位精度评价指标［5 －9］

3.1 TDOA 定位技术

设a、b、c、d 为传感器，e 为待定点(图2)。类似GPS 定位原理中求一次差［10］，r1、r2、r3、r4为ae、be、ce、de 距离的观测值，观测值r1分别与r2、r3、r4求差，得到ΔRi为线性组合观测值，列误差方程。这种通过求观测值之差列误差方程并求解待定点坐标的方法叫做TDOA 定位技术。

图2 TDOA 定位技术Fig.2 TDOA location technology

3.2 DOP 值

由于ΔRi表示线性组合观测值，r1与ri作差得:

其中，x、y、z 为待定点坐标;xi、yi、zi为第i 个传感器坐标。矩阵形式为:

根据泰勒公式，将式(1)线性化后得

其中，H 为误差方程线性化后系数阵，

假设σr为传感器与待定点间距离的中误差，Q为观测值构成的权逆阵。由文献［10］得:

观测值构成的协方差矩阵为:

式(2)根据最小二乘原理求解，得Δx=(HTQ－1H)－1HTΔR，即dx=(HTQ－1H)－1HTdr，令，而

因此，定义:

分别为平面位置精度因子、高程精度因子、空间位置精度因子［10］。

HDOP、VDOP、PDOP 只由传感器和待定点位置决定，一般认为σr为定值，DOP 值与σx成正比关系，因此DOP 值的变化可以反映定位精度的变化。

4 传感器间距对定位精度的影响

文献［9］验证了传感器处于同一平面且传感器所构成的几何图形中心的顶部再安放一个传感器时，可以得到较好的DOP 值;而狭长空间宽度和传感器感知半径为固定值，故本文分析狭长空间顶部安放传感器且侧壁传感器为同一高度时，侧壁传感器间距对定位精度的影响。

为研究方便，引入等间距布设方案(图3)。图3 中①、②、③传感器间距相等，可以想象，当②传感器不动，①、③传感器同步右移时，①、②传感器间距减小，②、③传感器间距增大。①、③传感器间距变化不影响覆盖区域abcdef 面积，但abef 面积增大，bcde 面积减小。

假设隧道宽度B 与高度H 均为5 m，传感器感知半径R=10 m。传感器布设高度h是相对于接收信号装置而言的，设相对高度h 为3.5 m，则:

1)abef 区域DOP 值分析

图3 传感器等间距布设方案Fig.3 Scheme of arrangement of equidistant sensors

在GPS 定位系统中，一般认为PDOP 值小于6时定位精度可靠，这里同样采用PDOP 值小于6 即认为定位精度较高。以图3 中fd 为x 轴，fa 为y轴，可得各个传感器坐标，在覆盖区域中均匀选择2 500个点，分别计算DOP 值及4 个辅助指标值max-PDOP、aver-PDOP、aver-HDOP、aver-VDOP，并以三维和二维图表示(图4 ～6)。其中，max－PDOP为覆盖区域中最大PDOP 值、aver-PDOP 为覆盖区域中PDOP 的平均值、aver-HDOP 为覆盖区域中HDOP的平均值、aver-VDOP 为覆盖区域中VDOP 的平均值。

由图4(a)、(c)知，当①传感器未移动时，PDOP值均小于3，且max-PDOP、aver-HDOP、aver-VDOP、aver-DOP 达到最小;当①靠近②传感器过程中，max-PDOP、aver-HDOP、aver-VDOP、aver-DOP 均不断增大;移动量小于2.5 m 时，max-PDOP 小于6;移动量继续增大时，max-PDOP 逐渐大于6;移动量为7 m时，max-PDOP 达到最大值74(图4(b))。由图4(a)、(b)x 轴还可以看出，①、②传感器覆盖面积逐渐增大。得出结论，两传感器靠近时，覆盖面积增大，反之减小;当①靠近②传感器2.5 m 以内时，abef 区域内DOP 值满足精度要求。

2)bcde 区域DOP 值分析

由图5(c)知，当②与③传感器间距逐渐增大时，max-PDOP、aver-HDOP、aver-VDOP 与aver-PDOP值逐渐减小后增大，在移动量达到2 m 左右时，max-PDOP、aver-HDOP、aver-VDOP 与aver-DOP 达到最小。但由图5(a)、(b)知，无论传感器间距怎样增大，覆盖区域中DOP 均小于2.5，即传感器间距增大对精度影响不明显。

3)abcdef 区域DOP 值整体分析

由图6(d)知，当①与③传感器位置同步变化时，abcdef 区 域 中 max-PDOP、aver-HDOP、aver-VDOP、aver-DOP 值不断增大，在①、②与②、③传感器距离相等时达到最小。由图6(b)、(c)知，在移动量小于2.5 m 时，max-PDOP 值小于6，与1)、2)中结果相同。故当隧道宽度B 与高度H 均为5 m，传感器感知半径R=10 m 时，传感器移动量不可大于2.5 m。

与卫星定位结果不同，图4(c)、5(c)、6(d)中aver-VDOP 均小于aver-HDOP 值。

由以上分析可以表明:当传感器布设于某一高度h 时，传感器感知半径、隧道宽度(狭长空间的宽度)和传感器间距决定了狭长空间的定位精度。

5 仿真实验

假设某线形隧道三维模型的参数和定位精度指标同上文，仿真模拟隧道中传感器的布设方案和对应位置的DOP 值。实验流程与传感器起始布设方案见图7。图中A、B、C、D、E 区域长度为39.607 5 m，①、②、③传感器覆盖A、B 区域，③、④、⑤、⑥传感器覆盖C、D、E 区域。假设①传感器位置为坐标起点，各传感器优化前后的坐标见表1，优化前后A、B、C、D、E 区域的长度见表2，模拟计算起始和优化后PDOP 值见图8。

图8(a)中部分区域PDOP 值大于6，原因是③④和⑤⑥传感器间距过小(移动量大于2.5 m)。优化后传感器的间距分布均匀，均为7.921 5 m，虽然优化前后传感器位置不同，但A－E 区域覆盖总长度是相同的，PDOP值分布见图8(b)，显然PDOP值显著降低，优化后的传感器间距更加合理。

图6 abcdef 区域中PDOP 值和指标值的变化Fig.6 Changes of PDOP values and index in abcdef area

图7 传感器起始布设位置Fig.7 Initial position of sensors

表1 起始与优化后传感器坐标(单位:m)Tab.1 Initial and optimized coordinates of sensors(unit:m)

表2 起始和优化后覆盖区域的长度(单位:m)Tab.2 Initial and optimized length of coverage area(unit:m)

6 结论

分析了狭长空间中传感器网络4 重覆盖问题;选取DOP 作为精度评价指标，改变传感器间距，分析了覆盖区域中精度分布情况。研究表明:当传感器布设于某一高度h 时，无线传感器定位精度与传感器感知半径、隧道宽度和传感器间距有关。最后模拟线形隧道环境下传感器布设位置，根据DOP 值和精度分布情况，优化传感器布设方案，使DOP 值显著下降。

图8 起始(a)和优化方案(b)PDOP 值分布Fig.8 PDOP values of initial(a)and optimized scheme(b)

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10 刘大杰，施一民，过静珺.全球定位系统(GPS)的原理与数据处理［M］.上海:同济大学出版社，2003.(Liu Dajie，Shi Yimin and Guo Jingjun.The global positioning system(GPS)principle and data processing［M］.Shanghai:Tongji University Press，2003)