基于蒙托卡洛仿真的随机需求库存优化问题研究

孔繁利，吉日木图

（内蒙古民族大学a.经济管理学院；b.数学学院，内蒙古通辽 028043）

0 引言

随着实际问题的需要，库存的优化理论逐渐被深入研究，从单级库存到多级库存、从单产品库存到多产品库存、从确定需求到不确定需求都取得了较好的成果[1-3]。Teimoury等则研究了具有两类顾客的多产品生产-库存系统[4]。Consular等研究了允许缺货和延期交货下的库存模型[5]。Abad等研究了在允许部分延期交货情况下，价格和订货量都作为决策变量的一类库存问题[6]。而影响库存的主要因素是需求的随机性，由于需求的规律难以掌握，因此随机需求条件下的库存管理问题仍然是供应链管理中的一个难点。

本文研究了需求随机变化条件下的库存优化问题。在需求变化的情况下，建立了随机库存优化模型。并采用蒙特卡洛仿真和Matlab优化技术对建立的库存模型求解，统计销售周期和订货量出现的频率，选取出现频率最大的销售周期和相应的订货量作为最优销售周期和订货量。

1 问题描述

从图1可以看出在不同的周期内需求对库存的影响。在第一个周期内需求与供给恰好平衡，在第二周期内需求大于供给，导致存在着不能满足需求的情况，导致缺货损失。第三周期内供给大于需求，产生了持货成本。在这种随机需求的情况下，本文在满足一定服务水平下，建立以利润最大为目标的规划模型。通过蒙特卡洛仿真和Matlab寻优研究了随机需求的最优定货策略。而在需求变化的情况下，由于需求为随机变量，我们无法求得周期（即两次订货时间间隔）的确切时间，也无法求得再次订货点确切来到的时间。最优库存决策是利用库存管理方法和库存控制模型，在满足需求的情况下，决定存储点应保持多少库存、什么时候定货、订购量为多少等等以达到库存总费用最省的目的。

图1 随机需求情况的库存Q（t）的变化情况

2 模型建立

2.1 模型参数

（1）决策变量：TAC为全年总利润；Q为每次订货量；T为销售周期；

（2）常量：U1为买入单位产品的价格；U2为卖出单位产品的价格；U3为单位缺货损失；Q1为每周期需求量，Qi为第i天的需求量，此常量受到需求的影响；T′为缺货周期内的销售天数；CR为每次的订货成本；CH为单位产品的库存持有成本；MQ,MT分别为每周期最大需求量，周期内最大可能天数。E(β)为在订货周期内大于订货量的平均需求。β为服务水平。

2.2 模型假设

（1）需求不确定且具有一定量的统计数据；

（2）允许缺货，缺货会造成缺货损失，缺货预售而不是丢失销售机会，但需要满足一定的服务水平。

2.3 模型建立

3 数值算例

由于每天需求量Qi和周期内的需求量Q1需要根据历史数据计算，因此本文通过蒙特卡洛仿真计算Qi和Q1。

3.1 蒙特卡洛仿真

蒙特卡洛仿真是以概率和统计的理论、方法为基础的一种计算方法，将所要求解的问题同一定的概率模型相联系，用计算机实现统计模拟及抽样，从而获得问题的近似解[5]。其基本思想是：首先为处理的问题建立一个概率模型，然后产生该问题的统计抽样样本，最后分析样本的特征，并以此作为原问题的解。其主要的理论依据是概率与数理统计中的大数定律。采用蒙特卡洛仿真时，需要做大量的统计模拟才能获得原问题的近似解，因此计算量非常大[1]。本文求解上述随机需求的优化模型（5）蒙特卡洛仿真步骤如下：

（1）根据每天需求量的分布，统计其概率分布并进行随机编码；

（2）根据随机编码产生随机数，计算模型（2.5）中的统计量Qi,Q1，其中Q1是Qi的和；

（3）对于任意的销售周期T∈[0,MT]和订货量Q∈[0,MQ]和相应的随机统计量Qi,Q1，利用Matlab优化技术计算TAC并求解最优的TAC和相应的订货量和销售周期；

（4）重复计算步骤二和步骤三N次，获得N次最优值TAC和相应订货量和销售周期；

（5）统计订货量和订货周期的概率分布，以出现频率最高的定货量和销售周期作为最优的订货量和销售周期。

3.2 实际算例

本文以某种饮料作为研究对象。其中买入单位产品的价格U1=80（元/箱）；卖出单位产品的价格U2=100（元/箱）；单位缺货损失U3=15（元/箱）；每次的订货成本CR=300（元）；单位产品的存储费用CH=0.2（元/箱）；每周期最大需求量，周期内最大可能天数分别为MQ=200,TQ=100。零售商统计1000天此饮料的每天需求量（单位：箱/天）分布，如表1：

表1 1000天的产品每天需求量的分布 （单位：需求量，箱/天）

（1）对每天需求量进行随机编码。根据每天的需求量，计算频率和累计频率。根据累计频率进行随机编码，如表2。

表2 产品的每天需求量的概率分布及随机编码

（2）在服务水平β=0.95,β=0.80两种情况下，根据蒙特卡洛的仿真步骤2、3、4对模型（5）求N=1000次最优解，在服务水平为0.95时，将模拟1000次的最优订货批量与销售周期及其频数、频率统计和汇总，见表3、表4：

表3 服务水平为0.95时最优订货批量

表4 服务水平为0.95时最优订货周期

模拟1000次，数值运算结果在不同周期的订货量情况和销售周期统计频数情况见图2-图3。

图2 服务水平β=0.95下的最优订货批量分布图

图3 服务水平β=0.95下的销售周期分布图

而在服务水平为0.80时，将模拟1000次的最优订货批量与销售周期及其频数、频率统计和汇总，见表5、表6：

表5 服务水平为0.80时最优订货批量

表6 服务水平为0.80时最优订货周期

模拟1000次，数值运算结果在不同周期的订货量情况和销售周期统计频数情况见图4-图5。

图4 服务水平β=0.80下的最优订货批量分布图

图5 服务水平β=0.80下的销售周期分布图

根据数据的统计结果与订货量和销售周期分布图2-图5，在β=0.95下，我们可以看出数据销售周期18-25天占有总量得50%以上，其中销售量为21所占有的比例最大，而销售量在120-140箱在销售量中占有50%以上。为了科学客观地反映最优订货批量和销售周期，本文采用订货批量期望和销售周期期望，如下：

其中E(Qopt)和E(Topt)分别为模拟1000次后确定的最优订货批量和销售周期的期望值；Qopt(i)和Topt(i)分别为第i个最优订货批量和销售周期结果；PQopt(i)和PTopt(i)分别为1000次模拟中第i个最优订货批量和销售周期对应的发生频率。计算结果如表7：

表7 不同服务水平下的最优销售周期及批量期望

因此，在β=0.95时，最优销售周期选取为Topt=19天，对应的订货量为Qopt=126箱。因此在β=0.80时，最优的销售周期为Topt=22天，相应的订货量为Qopt=131箱。

4 结论

本文采用蒙特卡洛仿真求解随机库存问题，获得了统计上的最优订货量和销售周期。为随机需求，但掌握市场需求动态的管理者提供了一种决策方法。但是本文仍然需要有进一步研究的内容，例如，对多产品随机需求下的库存问题。随机需求下多级库存问题（牛鞭效应增加了问题的复杂性）等都需要进一步分析。

[1]汪传旭，蒋良奎.模糊随机需求条件下供应链定期库存订货策略研究[J].山东大学学报(理学版)，2011,(7).

[2]Landinnr,Mendeslts,Vazlpr.Combined Effects of Tidal and Rotational Distortions on the Equilibrium Configuration of Low-Mass,Pre-Main Sequence Stars[J].A＆A，2009，494.

[3]Porteus,E.L.Foundations of Stochastic Inventory Control,Stanford [M].CA:Stanford University Press,2002.

[4]Teimoury E,Etal.Aqueueing Approach to Product Io-Inventory Planning for Supply Chain with Uncertain Demands:Case St Udy o f PAKSHOO Hemicals Company[J].Journal of Manufacturing Systems,2010, 29(1).

[5]Consular KV,De Kok T,Rutten W.Two Replenishment Strategies for the Lost Sales Inventory Model:a Comparison[J].International Journal of Production Economics,1996,46～47.

[6]Abad P L.Optimal Price and Order Size for a Reseller under Partial Backordering[J].Computers and Operations Research,2001,28.