关于Mordell方程

管训贵

（泰州学院 数理信息学院，江苏 泰州 225300）

管训贵

（泰州学院 数理信息学院，江苏 泰州 225300）

用初等数论的方法研究了一类不定方程

Mordell方程；整数解；一般公式

1 引言及主要结论

关于Mordell方程

曾引起许多学者的兴趣。李伟[1]用初等方法给出了k=2时的全部整数解为(x, y)=(±5, 2)。柯召、孙琦[2]用代数数论方法给出了k=13时的全部整数解为(x, y)=(±70, 17)。管训贵[3]用初等方法给出了k=1250时的全部整数解为(x, y)=(±9, 11)。而对于大多数整数k，Mordell方程均无整数解。本文运用初等数论的方法，给出以下结果。

定理设pi为奇素数，pi≡5或7(mod 8)，i=1, 2, …, s，若存在整数a, b满足(a, b)=1，且

则Mordell方程

的全部整数解为

推论1设p为大于5的奇素数，则Mordell方程

当p≡7, 13, 23 (mod24)且p≠23, 47时无整数解；当p=23时全部整数解为(x, y)=(±423, 59)；当p=47时全部整数解为(x, y)=(±149, 51)；当p=24k +5（k为非负整数），40k+9=a2时全部整数解为

推论2设p为大于7奇素数，则Mordell方程

当p≡5,7, 13, 23(mod24)且p≠23, 71时无整数解；当p=23时的全部整数解为(x,y)=(±1345, 123)，当p=71时的全部整数解为(x,y)=(±855, 107)。

推论3设p为大于7奇素数，则Mordell方程

当p≡7, 13, 23(mod24)时无整数解；当p =24k +5（k为非负整数），40k+41=a2时的全部整数解为

2 关键引理

引理1设p为奇素数，若p≡5或7(mod8)，且

对(6)两边同取模p得

引理2不定方程

满足条件(x,y)=1的一切整数解为

这里(a, 2b)=1。

证明参见文献[1]。

3 定理及推论证明

3.1 定理证明

由引理1知，(x, pi)=1，i=1,2,…,s，故

又存在整数a, b满足(a, b)=1，且

故(a,2b)=1，否则，2能整数某一pi（i=1,2,…,s），得出矛盾。

再由引理2知，(1)的全部整数解为

定理得证。

3.2 推论1的证明

由p≡5或7(mod8)可得p≡5,7, 13, 23(mod 24)。若

则b|5p，故b=±1，±5，±p，±5p。

（i）将b=±1代入(9)式得

当p≡7, 13(mod24)时，(10)式成为

无解。

当p≡23(mod24)时，令p=24k +23（k为非负整数），代入(10)式得a2=40k+39≡7(mod8)，无解。

当p≡5(mod24)时，令p=24k+5（k为非负整数），代入(10)式得a2=40k+9，此时(2)的全部整数解为

（ii）将b=±5代入(9)式得

对于(11)，当p≡5, 23(mod 24)时，有

无解。

当p≡7(mod24)时，令p=24k+7（k为非负整数），代入(11)式得a2=8k+19≡3(mod8)，无解。

当p≡13(mod24)时，令p=24k +13（k为非负整数），代入(11)式得a2=8k +21≡5(mod8)，无解。

对于(12)，p仅可能取23, 47。当p=23时，a=±3，此时(2)的全部整数解为

当p=47时，a=±1，此时(2)的全部整数解为

（iii）将b=±p代入(9)式得

对于(13)，当p≡5,7, 13, 23(mod 24)时，有

无解。

对于(14)，当p≡5,7, 13, 23(mod 24)时，有

无解。

（iv）将b=±5p代入(9)式得

对于(15)，当p≡5,7, 13, 23(mod 24)时，有

无解。

无解。

推论1得证。

由推论1容易得到p取不同值时，(2)对应的全部整数解(x, y)：

3.3 推论2的证明

则b|7p，故b=±1，±7，±p，±7p。（i）将b=±1代入(17)式得

[1] 李伟.不定方程y3=x2+2的初等解法[J].四川大学学报(自然科学版),1997,34(1)∶16-19.

[2] 柯召,孙琦.谈谈不定方程[M].上海∶上海教育出版社, 1980∶45-61.

[3] 管训贵.不定方程y3=x2+1250的全部整数解[J].河北北方学院学报∶自然科学版,2011,27(4)∶18-19.

（责任编辑、校对：赵光峰）

GUAN Xun-gui

(School of Mathematics, Physics & Information Science, Taizhou University, Taizhou 225300, China)

In this paper, we have studied the indefinite equation where pibe odd prime, with pi≡5,7(mod 8), i=1, 2, …, s , and gave out the general formulas of all integral solutions of the equation.

Mordell equation; integral solution; general formulae

O156

A

1009-9115(2013)05-0023-04

10.3969/j.issn.1009-9115.2013.05.007

泰州学院重点课题资助项目（2011-ASX-01）

2013-04-09

管训贵（1963-），男，江苏兴化人，副教授，研究方向为基础数论。

其中pi为奇素数，pi≡5,7(mod 8)，i=1, 2, …, s ，并给出了该方程全部整数解的一般公式。