矩阵初等变换的应用

梁萌

(驻马店高级技工学校，河南 驻马店 463000)

初等变换法是线性代数中最基本的方法之一。初等变换法是线性代数中最基本的方法。在解决线性问题时具有步骤简单、运算量小、易于掌握等优点。矩阵的初等变换被普遍用于以下方面:求矩阵的逆矩阵、矩阵的秩以及解线性方程组等。本文阐述了初等变换在多项式理论、向量空间以及二次型等方面的重要应用，将有利于全面理解矩阵初等变换乃至高等代数的思想。

1 矩阵初等变换

矩阵初等变换包括矩阵初等列变换和矩阵初等行变换。［1］

初等列变换是指对于数域F上的矩阵A=(aijm×n)作以下三种类型的变换:(1)交换矩阵的两列;(2)以非零数k乘以矩阵的某一列;(3)把矩阵的某一列的k倍加到另一列上。

同理可定义矩阵初等行变换。

2 矩阵初等变换的应用举例

2.1 利用初等变换求n个多项式的最大公因式

我们在求多项式的最大公因式时一般采用的是辗转相除法，而辗转相除法的实质就是反复利用带余除法。设f(x)、g (x)为两个多项式，

f(x)=q(x)g(x)+r(x)，(∂(r(x)＜∂(g(x)))。

如果引入多项式矩阵

则对其进行初等行变换可化为

由最大公因式的定义，可知矩阵初等行变换并不能改变两个多项式的最大公因式。因此，我们可以利用矩阵的初等变换来求多项式的最大公因式。

定理1［2］设多项式矩阵

经过初等行变换化为

则d(x)=f(x)u(x)+g(x)v(x)，且d(x)为f(x)与g(x)的最大公因式。

证明:由于对多项式矩阵实行初等变换不会改变两个多项式f(x)和g(x)的最大公因式，因此，多项式矩阵

经过初等行变换化为:

d(x)=(d(x)，0)=(f(x)，g(x))。即存在一系列初等矩阵P1(x)，P2(x)，…，P1(x)使得:

d(x)=f(x)u(x)+g(x)v(x)，其中d(x)为f(x)与g(x)的最大公因式。

我们可以将这个结论利用数学归纳法推广到n个一元多项式的情形。

2.2 初等变换在向量空间中的应用

2.2.1 初等变换求极大无关组

在求一组向量的极大无关组时，我们常用初等变换的方法，

定理3［3］设向量α1，α2，…，αn为m维列向量，矩阵A= (α1，α2，…，αn)经初等行变换化为矩阵B=(β1，β2，…，βn)，则α1，α2，…，αn的任一部分组αi1，αi2，…，αin与βi1，βi2，…，in的线性关系一致，即同时线性无关(或线性相关)。

证明 (1)若αi1，αi2，…，αin线性相关，则矩阵(αi1，αi2，…，αin)的秩为r。而矩阵A经初等行变换化为矩阵B时，矩阵(αi1，αi2，…，αin)就化为矩阵(βi1，βi2，…，βin)。因为初等变换不改变矩阵的秩，故矩阵(βi1，βi2，…，βin)的秩也是r。从而向量组βi1，βi2，…，βin线性无关。反之亦然。

(2)向量组 αi1，αi2，…，αin线性相关当且仅当矩阵(αi1，αi2，…，αin)的秩小于r，而矩阵(αi1，αi2，…，αin)经初等行变换化为矩阵(βi1，βi2，…，βin)，故矩阵(βi1，βi2，…，βin)的秩也小于r，所以向量组βi1，βi2，…，βin也线性相关。反之亦然。

推论1 若矩阵A=(α1，α2，…，αn)经初等行变换化为矩阵B=(β1，β2，…，βn)，则向量组βi1，βi2，…，βin是向量组β1，β2，…，βn的极大无关组当且仅当向量组αi1，αi2，…，αin是向量组α1，α2，…，αn的极大无关组。

定理3［4］设α1，α2，…，αn为m维的秩为r的列向量组，不妨设前r个向量就是它的一个极大无关组，则矩阵A=(α1，α2，…，αn)经一系列的初等行变换可化为矩阵

且对任j＞r，αj=b1jα1+b2jα2+…+brjαr。

2.2.2 判断两个向量组的等价性

设有两个向量组A∶α1，α2，…，α5及B∶β1，β2，…，βt。若向量组B中每个向量都能由向量组A线性表出，那么称向量组B能够由向量组A线性表出。如果向量组A与向量组B能够互相线性表出，那么称这两组向量等价。

定理4 若向量组α1，α2，…，αs与向量组β1，β2，…，βs均线性无关，则向量组α1，α2，…，αs与向量组β1，β2，…，βs等价当且仅当向量组α1，α2，…，αs，β1，β2，…，βs的秩为s。

推论2 若向量组α1，α2，…，αs与向量组β1，β2，…，βs的秩均为r，则这两个向量组等价的充分必要条件是向量组α1，α2，…，αs，β1，β2，…，βs的秩也为r。

由此可知，对于两个具体的向量组，我们可以利用初等变换的方法验证它们是否等价。

2.3 初等变换在二次型中的应用

用非退化的线性替换化二次型为平方和与求对称的双线性函数在某基下的矩阵是对角阵属于同一个问题，它们又都可归结为这样一个问题:已知n阶矩阵A，求可逆矩阵C，使C' AC为对角阵。而且我们知道在数域P上，任一个对称矩阵都合同于一个对角矩阵。

令C=P1P2…PS，其中Pi(i=1，2，…，s)为初等矩阵。从而C'=P's…P'2P'1，则

C'AC=P's…P'2P'1AP1P2…PS=D。(D为对角矩阵)

同样C=EP1P2…PS，C'=P's…P'2P'1E。

值得指出的是，前两种类型的初等矩阵的转置矩阵:P'(i，j)=P(i，j);P'(i(c))=P(i(c))，(c≠0)。因此A右乘P(i，j)左乘P'(i，j)，A右乘P(i(c))左乘P'(i(c))表明对A施相同的初等行与初等列变换。至于第三种类型的转置矩阵:P' (i，j(k))=P(j，i(k))，因此右乘P(i，j(k))表明对A施第j列k被加到第i列的初等变换，而A左乘P'(i，j(k))相当于第i列的k倍加到第j列的变换。

由此得到求对称矩阵A合同于对角矩阵D的初等变换法:

定理5［5］对任意的二次型f(x1，x2，…，xn)一定存在可逆线性替换X=CY将其化为标准形f(x1，x2，…，xn)=λ1y+λ2y+…+λny，其中λ1，λ2，…，λn是二次型f(x1，x2，…，xn)的矩阵A的n个特征值，即存在可逆矩阵C使

3 结束语

利用矩阵的初等变换可以将高等代数中复杂的问题简单化，使问题的求解更加方便。

［1］张志让，刘启宽.线性代数与空间解析几何［M］.北京:高等教育出版社，2004.4.

［2］杨纯富.矩阵的初等变换在多项式理论中的应用［J］.重庆文理学院学报:自然科学版，2008，27(4):55-57.

［3］吴明芬.初等变换的应用［J］.工科数学，2001，17(3): 93-96.

［4］杨子胥等.高等代数习题解(上册)［M］.济南:山东科技出版社，1987.

［5］王长群，赵振云，李梦如.线形代数［M］.北京:高等教育出版社，2001.