随机微分博弈下的资产负债管理*

杨 鹏，林 祥

(1. 西京学院基础部,陕西 西安 710123；2. 中南大学数学与统计学院，湖南 长沙410075)

资产-负债管理问题是以研究负债情形下组合证券投资问题的最优投资策略和风险控制为目标，以实现资产的最优配置和套期保值为目的的一种现代金融管理方法。目前, 已经受到理论界和许多金融机构的重视。文[1]研究了均值-方差准则下的负债问题。建立了负债与股票价格服从不同的布朗运动情形下的均值-方差模型, 得到了最优投资策略和有效前沿的显示表达式。文[2] 应用随机控制研究负债情形下基于效用最大化的动态投资组合。在指数效用，幂效用，对数效用下通过求解相应的HJB方程，得到了最优投资策略和值函数的显示解。类似的研究还有文[3-5]等。

我们发现已有文献对资产-负债管理问题的研究，只从投资者的角度出发，获得最优投资组合，而完全没有考虑市场对投资者的影响。我们知道，在实际中，投资者肯定会受到市场不确定性因素的影响，因此从投资者和市场两个角度同时考虑才更符合实际。这就是随机微分博弈问题。

随机微分博弈属于博弈论的范畴。博弈论虽然古已有之，但文[6]的发表才标志着随机微分博弈时代的真正到来。随机微分博弈，假设市场是博弈的“虚拟”对手，通过投资者和市场之间的双重博弈得到最优的投资组合。它如今已成为数理金融学、管理学科的研究热点。如文[7]在跳-扩散金融市场中，利用随机微分博弈论研究了风险最小化的投资组合策略问题。文[8]也利用随机微分博弈论研究了Markov调制模型下的期权估值问题。文[9]研究了两个具有相关但不同投资机会的投资者之间基于随机微分博弈的最优投资问题。我们在随机微分博弈下研究了资产负债管理问题。投资者与市场之间的博弈，我们假设投资者是博弈的主导者。即目标是，在市场最坏的情况下，投资者选择一个最优的策略最大化终值财富的期望效用。因为在投资时，我们考虑到了市场出现的最坏情况。通过采用线性二次控制的理论，在指数效用和幂效用下得到了最优的投资策略、最优市场策略和值函数的显示解。

1 模型和随机微分博弈问题

1.1 模型

dLt=Lt[udt+vρdW(t)],L0=l0>0

设π是投资到风险资产上的资金，这里π=(π1,π2,…,πn)。考虑投资和负债后，财富过程X(t,π)满足下面的随机微分方程

dX(t,π)=[rX(t,π)+π(t)B-u]dt+

[πDT-vρ]dW(t)

(1)

其中B=(r1-r0,r2-r0,…,rn-r0)T，D=(σij)n×n。

设{Ft}是由布朗运动W(t)生成的右连续，完备的自然流，对应的完备概率空间为Ω,Ft,P，P为一概率测度。

定义1 一个策略π(·)称为可行的，如果π(·)关于流{Ft}是可料的，且对于每个t≥0过程π(·)满足下面的条件：

(ii) 随机微分方程(1)对于{π(t),t≥0}有唯一的强解。

所有可行的策略记为∏。

设{θ(t)=[θ1(t),θ2(t),…,θn(t)]t≥0}是定义在(Ω,Ft,P)上实值的满足下列条件的随机过程

(i) {θ(t)=[θ1(t),θ2(t),…,θn(t)]t≥0}是Ft-循序可测的；

(ii) 对几乎所有的(t,ω)∈[0,+∞)×Ω，θi(t):=θi(t,ω)<1，i=1,2,…,n；

对满足上述条件的全体θ(t)记为Θ。

对每个{θ(t)=[θ1(t),θ2(t),…,θn(t)]t≥0} ∈Θ定义{zθi(t)t≥0}如下

i= 1,2,…,n;

dzθi(t)=-zθi(t)θidWi,i=1,2,…,n

记 dZθ(t)=-Zθ(t)θdW(t)

(2)

1.2 随机微分博弈问题

设u为一效用函数，u′>0,u″<0，即u是严格递增的凸函数。对每个投资策略π(·)，定义投资者的终值财富在Pθ下的期望效用为

其中Eθ是在概率测度Pθ下的期望。

投资者与市场之间的博弈，假设投资者是博弈的主导者。即目标是，在市场最坏的情况下，投资者选择一个最优的策略π(·)最大化终值财富的期望效用。即

(3)

其中π*,θ*为最优策略。该问题是投资者与市场之间的零和微分博弈问题，解决该问题就要找到最优的策略π*,θ*和相应的值函数Vt,x。

2 最优策略与值函数

2.1 指数效用函数

引理1g(t)满足下面的常微分方程

g′(t)+g(t)mer(T-t)u-vBTD-1ρT=0，

g(T)=1

(4)

则

(5)

证明解常微分方程(4)即可得到(5)。求解过程略。

定理1 随机微分博弈问题(3)的最优投资策略为

(6)

市场的最优策略为

θ*=BTD-1

(7)

值函数满足下式

(8)

g(t)满足(5)式。

[π(t)DTDπT(t)-2πvDTρT+v2ρρT]+

g(t)er(T-t)[rX(t,π)+πB-u]-

g(t)er(T-t)[πDT-vρ]θ(t)T}dt+

g(t)Zθ(t)er(T-t)e-mX(t,π)er(T-t)(πDT-vρ)dW(t)=

Zθ(t)e-mX(t,π)er(T-t)·

[θ(t)-θ*(t)]T}dt+

g(t)Zθ(t)er(T-t)e-mX(t,π)er(T-t)(πDT-vρ)dW(t)

其中π*，θ*分别满足(6) 、(7) 式，从t到T积分，在Zθ(t)=z,X(t,π)=x的条件下在概率测度P取条件期望，应用Beyes准则，得到

[π(s)-π*(s)]}ds

因为g(t)>0,Zθ(t)>0，所以问题得证。

推论1 当不考虑负债，u=v=ρ=0，随机微分博弈问题(3)的最优投资策略为

π*=0

(9)

市场的最优策略为

θ*=BTD-1

(10)

注1 从定理1和推理1得知，最优投资策略只和负债有关。当没有负债时，在市场出现最坏的情况，投资者会把全部的资金来购买无风险资产，不会冒最大的风险在股票上投资。这是符合人们的心理的。

注2 市场的最优策略为常数，和负债没有关系。说明，负债只对投资者有影响，而对市场没有影响，这符合实际。因为，负债由投资者承担和市场没有关系。

2.2 幂效用函数

引理2f(t),h(t)分别满足下面的常微分方程

f′(t)+rpf(t)=0,f(T)=1

(11)

h′(t)-rph(t)+(u-vBTD-1ρT)p=0,

g(T)=0

(12)

则f(t) = epr(T-t)

(13)

(14)

证明解常微分方程(11)、(12)式即可得到(13)、(14)式。求解过程略。

定理2 随机微分博弈问题(3)的最优投资策略为

π*=vρ(DT)-1

(15)

市场的最优策略为

θ*=BTD-1

(16)

值函数满足下式

(17)

f(t),h(t)分别满足(13)、(14)式。

f(t)(-p[X(t,π)-h(t)]p-1h′(t)+

p[X(t,π)-h(t)]p-1(rX(t,π)+πB-u)+

[π(t)DTDπT(t)-2πvDTρT+v2ρρT]-

p[X(t,π)-h(t)]p-1[πDT-vρ]θ(t)T)}dt-

f(t)[X(t,π)-h(t)]pZθ(t)πDT-vρdW(t)=

[π(t)-π*(t)](DTD)[π(t)-π*(t)]T+

Zθ(t)θ(t)dW(t)+f(t)[X(t,π)-h(t)]p·

Zθ(t)πDT-vρdW(t)

其中π*，θ*分别满足(15)、(16)式，从t到T积分，在Zθ(t)=z,X(t,π)=x的条件下在概率测度P取条件期望，应用Beyes准则，得到

[θ(s)-θ*(s)]T[θ(t)-θ*(s)]+

[π(s)-π*(s)](DTD)[π(s)-π*(s)]T}

因为g(t)>0,Zθ(t)>0，所以问题得证。

参考文献：

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[2] 常浩, 荣喜民. 负债情形下效用投资组合选择的最优控制[J]. 应用概率统计, 2012, 2(5): 57-470.

[3] 金秀,黄小原. 资产负债管理问题及在辽宁养老金问题中的应用[J]. 统工程理论与实践, 2005, 25(9): 42-48.

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