实数题中蕴含的数学思想

史立霞 秦振

实数是初中数学的重要内容之一，同学们若能掌握并应用数学思想解决实数题，将有利于提高解题能力.下面结合例题介绍解实数题时常用的数学思想，供大家参考.

一、整体思想

整体思想体现在解实数问题时，是不着眼于实数的“某一项”，而是将某一问题看作一个整体，通过研究问题的整体形式、整体性质，顺利解决问题的思想方法.

例1 已知四个实数a、b、c、d满足===，则 a、b、c、d的大小关系是（ ）.

A.a>c>b>d B.b>d>a>c

C.c>a>b>d D.d>b>a>c

分析：由题意可得a-2010=b+2011=c-2012=d+2013，然后作差求解.

解：由题意得a-2010=b+2011=c-2012=d+2013，由a-2010=b+2011，得a- b=2011+2010>0，所以a>b. 由a-2010=c-2012，得a-c=2010-2012<0，所以a0，所以b>d. 所以a、b、c、d的大小关系是 c>a>b>d.故选C.

点评：本题采用整体思想免去了一些解题过程，使解题思路清晰、解题过程简捷.

二、方程思想

有些实数问题可以根据条件中的等量关系，列出方程（组）求解.

例2 已知a、b满足+=0，求2a（÷）的值.

分析：由算术平方根的意义可得4a-b+ 1=0，b-4a-3=0，解方程组得a、b的值，然后代入求值即可.

解：因为≥0，≥0，且+=0，所以4a-b+ 1=0，b-4a-3=0，解方程组，得a=-1，b=-3，所以 2a（÷）=2×（-1）×（÷）=-2×（÷）=-2×3=-6.

点评：方程思想是解决各种数学问题常用的基本思想方法之一.

三、数形结合思想

根据已知条件的特点或图形特征，利用图形的直观性求解问题.

例3 实数a、b、c在数轴上对应的点如下图所示，化简+c-1+a+b- .

分析：由图可知ba，利用此关系化简即可.

解：由题意可得ba.

因为a>c，所以a-c>0.

因为c<0，所以c-1<0.

因为b<0，a>0，且b>a，所以a+b<0.

因为b<0，c<0，所以b+c<0.

所以 +c-1+a+b- =a-c+c-1+a+b-b+c=（a-c）-（c-1）-（ a+b）+（ b+c）=1-c.

点评：解题时，若借助数形结合思想让问题直观化、形象化，则有利于解决问题.

四、分类讨论思想

根据代数式的某些字母的特点，确定划分标准，进行分类，然后对每一类分别进行求解，最后给出答案.

例4 已知a是实数，试比较1+a与1-a的大小.

分析：因为（1+a）-（1-a）=2a，故要分a<0，a=0和a>0三种情况讨论.

解：因为（1+a）-（1-a）=2a，所以当a<0时，2a<0，则1+a<1-a；

当a=0时，2a=0，则1+a=1-a；

当a>0时，2a>0，则1+a>1-a.

点评：解含有字母的问题时，若字母的取值情况没有说明，则必须对字母的不同取值情况进行讨论求解.

五、观察归纳思想

在解题过程中，根据题目的特点，通过分析、猜想、归纳，从而得到问题的答案.

例5 观察下列各式：=2， =3， =4，…，请将你发现的规律用含自然数n（n>1）的等式表示出来 .

分析：观察每个等式与n的关系，把根式适当变形，分析、猜想、归纳关系.

解：=2，

=3，

=4，…，

所以上述规律用含自然数n（n>1）的等式表示出来为 =n.

点评：在解题过程中，猜想、归纳之前，一般可适当多给出一些“数值”，便于猜想、归纳，减小猜想的难度.

数学思想是数学的灵魂，因此，加强对数学思想的学习，对培养同学们的数学能力很有帮助.