巧分类 妙求解

漆发明

运用勾股定理解题时，由于题目的条件不确定，会引起一题多解的现象，这时若能利用分类讨论思想进行解答，则可确保结果不重不漏，下面举例说明.

例1 已知Rt△ABC中，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c且a=8、b=15，求c的长.

分析：由于题目没有指明哪个角是直角，因此有可能是边长为15的边所对的∠B是直角，或边长为c所对的∠C是直角，所以应分两种情况讨论，再根据勾股定理解答.

解：（1）若b=15是直角边，则c为斜边，由勾股定理得c2=a2+b2=82+152=289，所以c=17；

（2）若b=15是斜边，则c为直角边，由勾股定理得c2=b2-a2=152-82=161，所以c=.

所以c的长为17或.

点评：本题由于斜边不确定，因此需要分类讨论.

例2 下面是数学课堂的一个学习片断，阅读后，请回答下面的问题.

学习勾股定理有关内容后，张老师请同学们交流讨论这样一个问题：“己知直角三角形ABC的两边长分别为7、24，请求出第三边长的平方”.

同学们经过片刻的思考与交流后，李明同学举手回答：“第三边长的平方为625.”王华同学说：“第三边的长的平方为527.”还有一些同学也提出了不同的看法……

（1）如你也在课堂中，你的意见如何？为什么？

（2）通过上面数学问题的讨论，你有什么感受？（用一句话回答）

分析：本题首先要求在阅读数学课堂的一个学习片断后，对两位同学的说法提出自己的看法.这时应注意题眼：“直角三角形ABC的两边长分别为7、24”，要对这个不确定条件进行分析研究.

解：设第三边长为x，则

当x为斜边时，由勾股定理得x2=72+242，解得x2=625；

当x为直角边时，由勾股定理得242=72+x2，解得x2=527.

所以，第三边长的平方为625或527.

由此说明李明和王华两同学都犯了以偏概全的答题错误.

对于第（2）问，应在第（1）问的解答基础上，总结出“根据图形位置关系，运用分类讨论思想解多解型问题”，“考虑问题要全面”等体会.

点评：解答本题要注意题目条件的不确定性和由不确定性引起的分类，从而利用分类讨论思想来解决问题.

例3 等腰三角形一腰长为5，一边上的高为3，则底边长为 .

分析：抓住“一边上的高”将问题分为底上的高与腰上的高两种情况，又等腰三角形腰上有高，因此再分为锐角三角形与钝角三角形两种情况，可运用勾股定理分别求解.

解：若一边上的高是该等腰三角形底边上的高，如图1，此时由勾股定理易得BD=4，所以底BC=8；若一边上的高是该等腰三角形腰上的高，此时等腰三角形可以为锐角三角形，如图2，此时由勾股定理易得AD=4，故CD=1.

在△BCD中由勾股定理易得BC=；

若一边上的高是该等腰三角形腰上的高，此时等腰三角形可以为钝角三角形，如图3，此时由勾股定理易得AD=4，故BD=9. 在△BCD中由勾股定理易得BC=3.

故答案为8或或3.

图1

图2

图3

点评：由于本题没有图形，因此答案不唯一，合理进行分类才能避免漏解或多解.