基于CS与BP图像压缩算法

田鹏义，周 辉，许定根

(中国人民解放军装备学院昌平士官学校测控通信系，北京102200)

0 引言

随着科学技术的发展，尤其是网络的普及，人们对数据压缩的要求越来越高，而网络上传输的大部分是图像信息，故人们对图像的压缩技术提出了更高的要求.传统的图像采样方法均遵循著名的奈奎斯特采样定理:采样速率至少必须是信号最高频率的两倍.采样之后，再把冗余的信息丢弃掉，这样一方面对采样端提出了较高的要求，另一方面造成了资源的浪费.为了解决上述问题，Donoho与Candes等人于2004年提出了压缩感知原理(compressed sensing，CS)［1］，它是一种与传统的数据采样方法不同的新型感知采样模式.压缩感知理论指出:只要信号是可压缩的或在某个域是稀疏的，那么就可以利用不相关的矩阵直接将这样的信号投影到低维空间上，再利用这些少量的投影优化问题，并以高概率重构信号.实验证明，这种方法给传感器网络信号的采集、存储和处理带来了新的机遇.在传统的压缩技术中，神经网络压缩也是我们经常用到的压缩方法，它可以根据矩阵中的一部分数据来预测另一部分数据，且效果理想.如果利用神经网络压缩技术来处理测量矩阵，会得到“化学反应”，提高压缩率的同时，对信号的传输质量不会产生太大的影响.

1 CS理论基础

压缩感知理论指出，只要信号在正交空间下具有稀疏性或可压缩性［2］，就可以利用随机投影得到的少量观测值采集信号，并通过某种优化算法即可重构该信号.

设信号x∈RN是N×1维列向量，在正交基或紧框架Ψ∈RN×N下是稀疏的，即信号x在正交基Ψ上仅有K(K＜＜N)个非零系数(或远大于零的系数)，则:

其中:s表示稀疏系数，ψ为信号x的稀疏基.通过变换可知

采用一个与正交基Ψ不相关的观测矩阵Φ∈RM×N(M ＜＜N)对信号的稀疏系数s进行测量，得到观测向量y∈RM:

其中:A称为测量矩阵(AM×N=φψΤ).可以看到，压缩感知将信号x从N维降为M维观测信号Y.显然采样后信号的维数降低了.要想根据M测量值恢复信号其实是一个病态问题，Chen，Donoho和Saunders提出了利用L1范数下的最优化问题求解的精确或近似逼近，即:

由于s=ψTx，可将式(3)的最优化问题转化为:

求解稀疏系数估计s-，再做反变换，就可以得到重构后的信号.常用的求解方法有基追踪BP(Basis Pursuit)、匹配追踪法MP(Matching Pursuit)和正交匹配追踪法OMP(Orthogonal Matching Pursuit)等［3-4］.

从压缩感知的过程中可以看出，要想在接收端恢复出原始信号，需要传输整个测量矩阵，而测量矩阵仍然有可压缩的空间，如果能对该矩阵进一步压缩、传输，则会改善传输效率，获得理想的信道传输能力.

2 BP神经网络算法

神经网络［5］作为一种有效的智能信息处理技术，能依据数据本身的内在联系建模，具有良好的非线性逼近能力和对杂乱信息的综合处理能力，成为探索人类智能奥秘的有力工具.由于神经网络具有很强的非线性逼近能力和自学习、自适应等特性，它不需要建立复杂的非线性系统的显式关系和数学模型，可以克服传统定量预测方法的许多局限以及面临的挑战，同时也能避免许多人为因素的影响.

BP学习算法是训练人工神经网络的基本方法，也是一个非常重要且经典的学习算法，其实质是求解误差函数的最小值问题，利用它可以实现多层前馈神经网络权值的调节.BP模型是神经网络模型中使用最广泛的一类.从结构上讲，BP网络是一种分层型的典型多层网络，具有输入层、隐含层和输出层，层与层之间多采用全连接的方式.同一层单元之间不存在相互连接.其结构如图1所示.

图1 BP网络结构

BP网络可被看成是一个从输入到输出的高度非线性映射，这对于样本集合输入:输入x(RM)和输出y(RN)，可以被认为存在某一映射g，使g(xi)=yi，i=1，2，…，p.现要求有一个映射f，使得在某种意义下(通常是最小二乘意义下)f是g的最佳逼近.

BP神经网络被广泛的运用在时间序列的预测上，所谓预测，是指通过一些已知历史数据对未来未知数据的取值进行估计，设有时间序列{xi}，其中历史数据xn，xn+1，…，xn+m，对未来n+m+k(k＞0)时刻的取值进行预测，即预测xn+m+k的某种非线性函数关系:

用神经网络进行预测，即用神经网络通过一组数据xn，xn+1，…，xn+m来拟合函数f，得出未来n+m+k(k＞0)时刻数据的预测值.

BP神经网络压缩的基本思想是:把一组输入模式通过少量的隐含层单元映射到一组输出模式，并使输出模式尽可能等于输入模式.当隐含层的单元数比输入模式数少时，就意味着隐含层更能有效地表现输入模式，并把这种表现传输到输出层.在这个过程中，输入层和隐含层的变换可以看成压缩编码的过程，而隐含层与输出层的变换可以看成解码过程.

单独使用神经网络算法也可以对图像进行压缩——压缩原始的数据，可以获得一个较理想的压缩率，完成图像的传输;如果使用神经网络算法对测量矩阵进行压缩——压缩“压缩后的数据”，则会进一步提高压缩率，改进传输效率.

3 本文算法

3.1 算法简介

在传统的CS理论算法中，对图像进行离散(DCT变换)、观测(高斯随机矩阵)，得到观测值矩阵，然后直接传递观测值矩阵，在文件接收端，利用相关算法(正交匹配追踪算法)和观测值矩阵恢复出原始图像.这样做需要传输整个的观测值矩阵，传输效率有待提高.

如果把观测值矩阵一分为二，利用其中一部分数据与神经网络算法去预测另一部分数据，那么在传输的过程中只需要传递这一部分观测值矩阵与网络节点，接收方可以根据接收到的数据预测出另一半观测值矩阵，进而得到整个矩阵.这样做提高了压缩率，改进了传输效率.

本文提出算法实现如下:

发送端:

步骤1:对图像进行DCT变换，达到信息稀疏的目的，得到稀疏矩阵;

步骤2:选择合适的观测矩阵对稀疏矩阵进行测量，得到测量值矩阵;

步骤3:把测量值矩阵分成元素数相等的两个矩阵P、T;

步骤4:以P作为输入层，T作为输出层，进行网络训练，得出训练节点，传输P与训练节点;接收端:

步骤5:利用P和训练节点推测出T;

步骤6:用P和T组成新的矩阵，此矩阵即为“恢复的稀疏值矩阵”，利用OMP算法对原始图像进行恢复.

3.2 实验仿真

用Matlab对图像cameraman和woman进行仿真，两幅图大小为均256×256，首先用常用的压缩感知方法对该图像进行压缩，以0.6为采样率DCT为离散基，对该图像cameraman进行离散变换，然后用高斯随机矩阵作为观测矩阵，得到观测值，利用OMP算法(正交匹配追踪算法)对原始图像进行恢复，对woman用0.8的采样率进行采样变换，如图2所示.

图2 利用OMP算法进行压缩

从图2中可以看出，图形的大体轮廓还是比较清楚，但是压缩率较小，图像的传输效率较低.

利用本文算法:由于神经网络算法对数据有进一步的压缩，我们可以在采样的时候相应提高采样率，采样率与传统压缩感知采样率相同，得到观测值矩阵进行拆分，拆分成同样大小的矩阵，以一个作为输入，另一个作为输出，对BP神经网络进行训练，然后再对图像进行还原，得到图像如图3所示.

图3 利用本文算法压缩与恢复的图像

表1 两种方法的比较

由表1可知，两种方法恢复图像效果相似，但本文的算法提高了压缩率，优化了传输效率.本文方法的峰值信噪比与传统的压缩感知传输方法信噪比相当，这正好印证了两种方法的视觉效果相似，采用BP神经网络算法对观测举证进行预测，对需传输的数据量进行了进一步的压缩，使得压缩率有了很大的提高，可以改进图像的传输效率，并且达到高压缩率的同时，峰值信噪比与传统的压缩感知方法近似，满足传输的要求.

本文研究了在压缩感知基础上，利用BP神经网络算法对观测值矩阵进行压缩，用一部分的观测值矩阵和神经网络节点预测另一部分的观测值矩阵，然后再把两部分矩阵结合起来，得到原始的观测值矩阵，最后采用OMP算法对图像进行还原.通过仿真验证此方法的可行性，能够准确地预测观测序列，在恢复图像理想情况的效果下，进一步压缩需要传输的观测数据的长度，减少传输数据量，提高传输效率.

［1］Donoho D L.Compressed sensing［J］.IEEE Transactions on In.formation Theory，2006，52(4):1289-1306.

［2］戴琼海，付长军，季向阳.压缩感知研究［J］.计算机学报，2011，34(3):425-434.

［3］文再文，印卧涛，刘歆，等.压缩感知和稀疏优化简介［J］.运筹学学报，2012，16(3):49-64.

［4］练秋生，肖莹.基于小波树结构和迭代收缩的图像压缩感知算法研究［J］.电子与信息学报，2011，33(4):967-971.

［5］张健，杨震，季云云.基于神经网络的压缩感知观测序列建模［J］.南京邮电大学学报(自然科学版)，2012，32(3):40-44.