“分析法”下解题思路的寻找

☉江苏省徐州市第一中学 马 芹

分析法是高中数学中常用的证明方法之一，从推理的程序上来讲，它是一种“执果索因”的逻辑推理方法.具体说，从求证的结论出发，“由果索因”，利用公理、定理、公式和定义，经过正确严谨的推理，追溯导致结论成立的充分条件，直到找到使结论成立的条件和已知条件或者已知的事实相符即一个显然成立的关系为止，从而判定问题的结论成立.分析法在高中数学中应用十分广泛，涉及几何、三角、不等式的证明等，本文笔者就通过几道试题的解析来说明分析法在数学解题中的重要应用.

分析法的思维全貌可以概括出其基本步骤：“未知→需知→已知”，在操作中“要证”、“只需证”、“即证”这类词语是不可缺少的.

典例1已知ai（i=1，2，…，n）都是正数

分析点拨：从结论的结构出发，寻找条件与结论之间的联结“桥梁”：ai（i=1，2，…，n）均为正数，可将待证结论两边平方，得

证明赏析：构造函数

即f（x）≥0在x∈R恒成立，又a12+a22+…+an2＞0，此时，得满足Δ≤0，即

反思总结：本题若直接从已知条件出发进行证明，容易迷失方向，使解题无法进行下去，在这种情况下，尝试运用分析法，执果索因、逆向思考问题，在分析的过程中不断地寻求使结论成立的一些条件（隐含条件、过渡条件等），从而寻找到联结条件与结论之间需要的“桥梁”.本题的难点在于如何构造合适的二次函数来求解，为什么会想到构造二次函数，如何构建才合适呢？这正是“分析点拨”中分析出来的，这也是解综合题必须经历的一个过程，也许当看到用综合法书写出来的证明过程时让人一目了然，但是分析法在寻找思路上却起了不可缺少的至关重要的作用.

分析点拨：比较已知条件和结论，发现结论中没有出现θ，因此第一步尝试从已知条件中消去θ，观察已知条件的结构特点， 发现其中蕴含数量关系：（sin θ+cos θ）2-2sin θ·cos θ=1，于是①2-2×②得4sin2α-2sin2β=1，把它与结论相比较，发现角相同，均含有α，β，但函数名不同，于是尝试转化结论，统一函数名，即把正切函数化为正（余）弦函数来求证.

证明赏析：因为（sin θ+cos θ）2-2sin θ·cos θ=1.

只要证4sin2α-2sin2β=1与③相同，所以问题得证.

反思总结：在解决问题时，经常需将分析法和综合法结合起来使用，即常常采取同时从已知和结论出发，寻找问题的一个中间目标，从已知到中间目标运用综合法思索，而由结论到中间目标则运用分析法思索，以中间目标为桥梁沟通已知与结论，构建出证明的有效途径.本题证明的前半段运用的是综合法，后半段用的是分析法.由此可见，在解决实际问题的时候，方法的运用上不能死板教条，要懂得灵活机动，以便于快捷、正确的处理问题.

总之，在解决很多复杂的数学问题时，在由因导果进行不下去时，可执果索因进行思考，这样由欲知确定需知，求需知利用已知，往往会摆脱“山重水复疑无路”的困境，从而达到“柳暗花明又一村”的效果.