第二数类Z 的新模型与退火法

童宁江

（台州科技职业学院 机电与模具工程学院，浙江 台州 318020）

1 Z 的提出与定义

1874 年，康托尔提出连续统问题[1-3]。至2013 年，问题没有彻底解决。 针对连续统问题，康托尔提出了第二数类Z（可数集的所有序型组成的集合）。 康托尔证明，Z 是最小不可数集。

2013 年，问题取得突破，突然发现Z 可以是可数集。 这就是Z 的新模型。 7 月20 日，终于给出一个严格的证明。 这就是退火法。 新模型与退火法为解决连续统问题，提供了新思路。

2 Z 的通俗解释

通俗而言：

序数0=0，序数1=1，序数2=2，…，序数w=w0，

序数w+1={0,1,2…，b1}中b1的位置，

序数w+2={0,1,2…，b1,b2}中b2的位置，

以此类推，可得

0,1,2……

w，w+1，w+2，…，

2w,2w+1,2w+2，…，…，

w2，w2+1，w2+2，…，…

这些序数组成的集合简记{0，1，2，…，w，w+1，w+2,……}。

3 新模型与退火法

定义Z={0，1，2，…，w0，w0+1，w0+2,……}。它的元素是序数。

性质Z 可以是可数集，即可数集可表示为Z 形式。 这就是Z 的新模型。

证明（退火法）：设可数集A 的操作如下：

初始化：变量A0=A，变量J={0}，变量K={0}，变量t=2，变量Y=Φ。

现在，J、K、Y 沿着Z 的元素顺序进行扩张。

标记s：j=sup(J)，J=J∪｛j｝，k=sup（K），K∪｛k｝；当j=k＞0 时，t=j，先令j* 接近且小于j，再j=j*，J=Jj，K=Kj，Y=Yj，跳回标记s；Bi（Bi是两两互不相交的可数集），每个Bi另记Ai（新符号Ai覆盖旧符号Ai， 每个符号Bi被清除）；从Aj中取一个元素，记作aj；Y=Y∪{aj}，J=J∪｛j+1｝，K=K∪跳回标记s。

最后，可得集合Y={a0,a1,a2,…，aw0,aw0+1，aw0+2，…}。

因为Y 是可数集A 的无穷子集，所以Y 是可数集。 又因为Y 与Z 一一映射，所以Z 是可数集。 证毕。

4 退火法的演示

设可数集Aj 的操作如下（只给关键部分）：

第0 步：从Aj中取一个元素，记作aj；Y=Y∪{aj}等。

…

第w0步：t=j， 先令j* 接近且小于j， 再j=j* 等， 跳回第j步。

现在t=w0，不妨j=10000。

第10000 步：从Aj中取一个元素，记作aj；Y=Y∪{aj}等。

…

…

…

…

5

结束语

康托尔证明，Z 是最小不可数集。 新模型表明，Z 可以是可数集。这意味着，Z 在序数上是集合，在基数上不是集合。为了混淆基数与序数（即统一基数与序数），只好让Z 无基数。

[1]华莱士.跳跃的无穷[M].长沙:湖南科学技术出版社,2009

[2]朱梧槚.数学与无穷观的逻辑基础[M].大连:大连理工大学出版社,2008.

[3]江泽坚,吴智泉.实变函数论[M].北京:高等教育出版社,1998