如何打好函数概念这张牌（续）

北京市第八十中学 索云旺 张启华 （邮编：100102）

山西长治第二中学 张锐军 （邮编：046000）

（续上期）

4 教学过程

（1课时.北京市朝阳区公开课，授课对象：北京市第八十中学科学创新实验班学生，基础较好，有一定自学能力、推理能力和创造能力.点评：第八届苏步青数学教育获奖者、特级教师张锐军）

4.1 创设情境，提出研究问题

师：利用数学方法或数学的眼光研究运动事物或变化现象的着眼点是什么？以公路上匀速行驶的汽车为例.

点评：本问题的提出是为了让学生了解函数概念产生的背景，感受函数概念源于“现实”的基本思想.但考虑到提的问题太大，教师举出一个学生非常熟悉的公路上匀速行驶的汽车，引发学生思考，激发探究的欲望.

4.2 学生探索，推断依赖关系

生1：着眼点是汽车行驶里程、汽车行驶时间，行驶里程依赖行驶时间变化而变化的关系.

师：你的着眼点是变量，以及变量之间的依赖关系，请再举几个例子.

生2：我国人口问题，变量为人口数、时间（年），人口数依赖时间（年）的变化而变化的关系.

生3：每天气温依赖时间变化而变化的关系，变量为气温、时间.

师：如果我们去掉这些例子的现实背景，它们的共同点是什么？

生3：都有两个变量，其中一个变量依赖于另一个变量变化而变化.

师：很好！现实世界中，像这样涉及两个变量，且其中一个变量依赖于另一个变量变化而变化的事物或现象的例子多吗？

众生：很多！

师：正因为这样的例子多，值得我们研究.在初中我们曾经把前一个变量叫做后一个变量的？

生4：函数.

师：请同学叙述一下初中学过的函数定义？

生5：（初中定义，略）

师：根据这个定义，要说y是x的函数，这两个变量之间必须具备怎样的关系？

生6：“对应关系”

4.3 语言变式，识别对应关系

师：与我们刚才说的“依赖关系”意思一致吗？

点评：通过语言变式，换一种说法，识别出“对应关系”，为用“对应关系”描述变量之间依赖关系奠定基础.

4.4 师生交流，归类对应关系

师：好！两个变量之间是怎么对应的？是一一对应吗？

点评：虽然不少老师并不赞成在“一一对应”或“多一对应”下工夫，但是，我们的教学实践和教学观察认为：这是学生逐步认识、学会用“对应关系”刻画变量之间的依赖关系不可缺少的必经阶段！数学知识的生长不在于记住一个个抽象的概念和命题，而在于和它之前的背景知识交融在一起形成解决问题的能力.

生7：有些是“一对一”的对应关系，也有“多对一”的对应关系.

师：你能通过举例说得具体些吗？（略）.经过同学们的讨论，两个变量满足的是“一对一”与“多对一”的对应关系，所以，函数是两个变量之间的一种特殊的对应关系.

请同学再举一个自变量x与因变量y是“多对一”对应关系的函数例子.

生8：二次函数y＝x2，是“多对一”的对应关系.

师：非常好！你能用集合语言表示这个函数中自变量x的取值范围、因变量y的取值范围吗？

生9：x的取值范围是R，因变量y的取值范围是｛y｜y≥0｝.

4.5 转换情境，推断对应关系

对以下三个问题“鉴别”出变量，写出变量的取值集合，推断“对应关系”，并判断变量之间是否是函数关系？

问题1、问题2、问题3（略，人教社A版教材第15页）

生10：三个问题中两个变量之间都是函数关系，因为符合函数定义.

师：请用集合语言回答三个问题中两个变量之间都是函数关系的理由.

生11：对问题1，对于数集A中的任意一个时间t，在数集B中都有唯一确定的高度h和它对应，所以h是t的函数.对问题2、问题3（同样，略）

师：如果我们抛去三个问题的现实背景，要说变量y（y∈B）是变量x（x∈A）的函数，如何表述呢？

生12：对于数集A的每一个x，按照“一对一”或“多对一”的“对应关系”，在数集B中都有唯一确定的y和它对应，我们称y是x的函数.

师：很好！要说y是x的函数，对于数集A的有几个x同时与数集B中都有唯一确定的y和它对应重要吗？

生12：不重要.

师：那请你再概括一下？

生12：对于数集A的每一个x，按照某种“对应关系”，在数集B中都有唯一确定的y和它对应，我们称y是x的函数.

4.6 师生交流，评论对应关系

师：要说变量y是变量x的函数，数集A、数集B、“对应关系”你认为哪个因素更重要些呢？

众生：“对应关系”

师：很好！两个数集中两个变量之间的“对应关系”是“初中定义”中y是x函数的关键要素，在它们的“对应关系”下是函数关系，与是否用变量x表示出变量y有关系吗？

众生：无关.

师：请举例说明.

生13：前面公路上匀速行驶汽车的例子中两个变量s、t满足“一对一”的对应关系，用变量t可以表示出s，即s＝80t（设汽车行驶的速度是80千米／每小时），问题1中的两个变量h、t满足多“对一”的对应关系，用变量t亦可以表示出h，即h＝130t－5t2（课前准备曾让学生求解过解析式）.但是，同学2、同学3所举的例子及问题2、问题3中的两个变量在它们的“对应关系”下，却无法用一个变量表示出另一个变量，所以两个数集中的两个变量在它们的对应关系下是函数关系，与是否用变量x表示出变量y无关.

4.7 创设问题，产生引入f的可能

师：在用图象、表格表示的“对应关系”下的两个变量，如果也能用变量x表示出变量y的话，那么我们就可以把在三种类型（解析式、图象、表格）“对应关系”下的两个变量，一般地用变量x表示出变量y来，实现统一和谐之美！

点评：制造强烈的、合乎自然逻辑的认知冲突，提出高认知水平的问题，引发学生思考，激发学习的动机与探究的欲望，也有助于提高学生学习的积极性.

生14：引入一个符号就行.

师：你怎么想到引入一个符号呢？

生14：我们刚才为了表达变量的取值范围用了集合符号，最近学过的集合内容，引入了符号“∈”、“⊆”，用a∈A表示元素a属于集合A；用A⊆B表示集合A是集合B的子集.

师：你太棒了！“∈”、“⊆”这些符号就是为了用来表达两个数学对象之间的关系而引入的.其实，数学总是这样，为了精确和清晰表达内容与问题，总是创造性地引入一些数学符号.那么，要表示两个数集中变量之间的“对应关系”你觉得用什么数学符号合适呢？（生沉默）.

4.8 唤醒经验，启发设计方案

师：以前学习中，你有为表达两个数集变量之间的“对应关系”而引入数学符号的经验吗？

点评：笛卡尔曾说：“我们解决的每一个问题都将成为一个范例用于解决其他问题”.面对一时难以解决的困惑，不妨从“历史经验”中寻找启发.“历史是最好的启发式”.［1］

师：那么，要表示两个数集变量之间的“对应关系”，你们觉得应引入一个什么样的数学符号呢？

生16：受生15同学的启发，引入一个符号就可以，并且y可以用引入的符号表示出来.

师：你太棒了！教师板书：符号“Δ”：x→y，且y可以用“Δ”表示出来，师生讨论后引入f：x→y（当然，f也可以用g，p，h等表示）.

刚才，生16同学说y可以用f表示出来，而我们前面提出的要研究的问题是变量x表示出变量y来，两者结合起来，下面我们要研究的问题是什么？

点评：数学符号要便于进行数学思维才有生命力，反过来，为了进行数学思维必须使用数学符号，必须学习和掌握数学语言（由符号表达）.［2］

众生：用x，f表示出变量y来.

生17：太抽象了（众生笑）.

4.9 师生交流，启发寻找思路

师：那怎么办？遇到抽象的问题如何处理呢，你有想法吗？

点评：教师应引导学生探索解决问题的方法.波利亚指出：类比提供了一种可能的解题模式.即在解决某个问题之前，先“选出一个类似的、较易的问题，去解决它，改造它的解法以便用作一个模式，然后利用刚刚建立的模式，以达到原来问题的解决.”

生18：研究一下问题1中是如何用x，f表示出变量y的，因为问题1中的函数有具体“解析式”.

师：好！那请你具体说一说吧！

生18：

4.10 转换表征，建构f的涵义

师：为了更直观、清晰表达你写的两个数集A、B之中变量x与y之间的“对应关系”，你还有其它方法吗？

点评：多元表征理论认为：数学概念的本质往往隐含在丰富多彩的表现形式中.概念的表征形式常见有：语言表征、符号表征、图形表征、操作表征、情景表征等.教学中需要教师对数学概念进行多元表征，力求从直观形象的角度对数学概念进行挖掘，赋予静态抽象的数学概念以丰富直观的背景，促进学生理解.

生19：用Venn图表示两个集合，画上用箭头表示两个变量之间的对应关系.所以，对应关系f为：t→130t－5t2＝h.（Venn图，略）

师：你能举例说出学过的有“解析式”函数的“对应关系f”吗？

生20：y＝x2，对应关系f：x→x2＝y；

y＝，对应关系f：x→＝y；

y＝2x＋3，对应关系f：x→2x＋3＝y.

生1同学所举的例子：

s＝80t，对应关系f：t→80t＝s.

（突然）生21：我似乎找到了问题3的“对应关系”了.将生18同学所计算数值列成表格如下：

这个“表格”就表示了问题1中的对应关系f：t→130t－5t2＝y.

所以，问题3中的表格就蕴含着“对应关系f”，“表格”就是“对应关系f”，即：f：t→n.生2同学所举的例子：f：t→y（t为时间（年），y为人口数）

师：你太棒了！你怎么想到的？

生21：初中学习分析数据的基本方法，就是用条形图将它们画出来，或用紧凑的表格改变数据的排列方式，寻找规律.其实，也是受生19的启发.

（突然）生22：我也找到了问题2中的“对应关系”，因为图象中的每个点就表示了给定的一个时间（自变量）所对应的唯一确定的臭氧层空洞面积S和它对应.所以，图象本身蕴含着“对应关系f”，对每一对（t，s）就是唯一确定的对应关系，即对应关系f：t→s.生3同学所举的例子f：t→T（t为时间，T为气温）.

师：通过上面的讨论可以看出，我们引入的符号f：x→y表示“对应关系”是合理的.你能说一下“对应关系f”的含义或功能吗？

点评：美国数学史家D.J.Struik曾经指出：“一种合适的符号要比一种不良的符号更能反映真理.而合适的符号，它就带着自己的生命出现，并且它又创造出新的生命来.”［3］

生23：通过上面的讨论可以看出：数集B中唯一确定的与数集A中变量x对应的变量y是对变量x实施“对应关系f”得到的.

师：还有其它说法吗？

生24：y是经过f对应过来的.

生25：“对应关系f”的含义就是使x与y对应起来.

师：三位同学的认识如何？

众生：鼓掌！

4.11 师生交流，生成符号f（x）

师：你们说得非常精彩？这样，如何用x，f表示出变量y呢？

点评：如果一个聪明的学生没有足够的机会通过自身的经验来使自己相信，数学符号组成的语言有助于思维，那么，他对代数的这种反感是无可非议的.帮助学生获得这样的经验是教师的一项重要任务，是他最为重要的任务之一.

生25：老师，用x，f的加、减、乘、除等运算都不行.

师：在18世纪，德国数学家莱布尼兹已经解决了该问题，他是将y换成符号f（x），即x→f（x）＝y.

这样的话，问题1中的对应关系f：t→f（t）＝h；（学生回答，教师板书以下同）

问题2中的对应关系f：t→f（t）＝s；问题3中的对应关系f：t→f（t）＝n.

生20同学所举的例子中：

y＝x2，对应关系f：x→x2，即f：x→f（x）＝x2＝y；

y＝，对应关系f：x→，即f：x→f（x）＝＝y.

生1同学所举例子中：s＝80t对应关系f：t→80t＝s，即f：t→f（t）＝80t＝s；

生2同学所举例子：对应关系f：t→y，即f：t→f（t）＝y（t为时间（年），y为人口数）；

生3同学所举例子：对应关系f：t→T，即f：t→f（t）＝T（t为时间，T为气温）.

同学们还能举例一些用图像、表格表示的函数吗？其对应关系？（略）

所以，一个函数都可以将其“对应关系”表示为f：x→f（x），从而实现了用x、f表示出变量y，即y＝f（x）.

4.12 运用f（x），形成函数概念

师：请运用符号f（x）表述y是x函数的理由.

生26：对于数集A的每一个x，按照某种“对应关系f”，在数集B中都有唯一确定的f（x）和它对应，我们称y是x的函数.

教师投影教材定义：（高中函数定义略）

4.13 师生交流，理解函数概念

师：谈谈对教材给出的定义的认识.

点评：概念定义后，必须从不同的侧面、不同角度去挖掘，深化理解.一般地，从以下几个方面理解数学概念：从定义的重要词句上剖析，找出其内涵和外延；从结构上进行剖析，建立与原认知结构的联系；通过反例来剖析概念，建立清晰的认知结构.反例辨析的方法主要采用命题判断与变式（概念变式主要包括：图形变式、式子变式、符号变式、等价说法等）两种形式，通过变式利用外延来检验概念.

生27：我对定义中值域是数集B的子集不理解，值域和数集B应该是相等.顿时，教室内讨论气氛热烈.2分钟后 ——

生28：C⊆B是对的，定义中数集B不再是实际问题中的数集B，可以允许数集B中的元素比与x对应的f（x）构成的集合中元素多，所以C⊆B.（多数同学点头，从个别同学表情来看，仍有困惑.）

师：能否举例解释？

生29：如果A＝R，B＝R，按照对应关系f：x→x2，在数集B中都有唯一确定的f（x）与数集A中的每一个元素对应，所以f：A→B为数集A到数集B上的一个函数，记为y＝x2，其值域为：C＝｛f（x）｜f（x）≥0｝，由于数集B中有小于零的数，显然C⊆B.

生30：如果按照对应关系f：x→－x2，那么f：A→B也是数集A到数集B上的一个函数，记为y＝－x2，其值域为C＝ ｛f（x）｜f（x）≤0｝，显然C⊆B.

生31：通过以上两位同学的回答，数集A与数集B中的“对应关系f”，有人为“规定”的意思.

师：那你凭什么这么说呢？

生32：给定两个数集A、B，我们可任意规定一个“对应关系f”，只要使数集A任意元素x，保证数集B中都有唯一确定的元素f（x）与之对应，就建立了一个函数.

师：你太聪明了！同学们，你们能构建一些函数吗？

生33：A＝R，B＝ ｛1｝，f：x→1，y＝1.

生34：我认为函数值域是由定义域和对应关系决定的.

师：你为什么这么说？

生35：从同学们所举例子中就可以知道，如函数f（x）＝x2，定义域为 R，值域为｛f（x）｜f（x）≥0｝.

师：很好！你对函数的定义域有怎样的认识？

生36：定义域中的数必须让“对应关系f”能对应它.

师：这是什么意思？能帮助他解释吗？

生37：他的意思就是说定义域中的数必须做到对应关系“f”有意义才行，换句话说，定义域就是使“对应关系f”有意义的自变量取值集合.

师：很好！你举个例子吧！

生37：比如f（x）＝，对应关系f：x→，0这个数“对应关系x”对它无能为力，（众生笑）.所以，函数f（x）＝的定义域为｛x｜x≠0｝.

师：这样的话，如果判断两个函数是否是同一个函数，需要看什么？

众生：两个函数的定义域相同，且“对应关系f”完全一致，两个函数完全相同.

师：举个例子？（略）

师：好！我们把函数的定义域、对应关系f、值域称为函数的三要素.对应关系f是使“对应”得以实现的方法和途径，是联系x与y的纽带，从而是函数概念的核心.x与y的关系既互相依赖，又互相制约.

至此，我们学习了函数的初中、高中两个定义，请同学们举例说明两个定义的异同，你认为高中定义有什么优点？

生38：两个定义的本质是一致的，即它们的定义域、值域、对应关系本质上也是一致.只不过语言的叙述不同，初中定义是从运动变化的语言（教师板书，俗称“变量说”生动、直观），高中定义用集合与对应的语言.（教师板书俗称“对应说”）但是，在判断y＝1是函数，用初中定义判断比较勉强，而用高中定义解释十分自然.

生39：在判断函数y＝x与y＝是否是同一个函数时，用高中定义也非常方便自然.

师：好！高中定义的优点我们在以后的学习中还会继续体会.但初中定义由于用变量观点描述函数比较生动、直观，今后为了方便，我们有时仍然使用它.

4.14 运用概念，解决实际问题

师：同学们能用高中定义叙述一下所学过的一次函数、二次函数、锐角的三角函数是函数吗？（略）.

点评：概念的获得最终是为了获得思维过程的训练和更高级的运用.“运用概念的能力是掌握概念的标志”，由于知识的内化的过程本身是建立在原先已有的知识之上的，这样，原先知识结构的质量就决定了知识生长的数量和质量.

例题1 （教材例题1略）

例题2 （1）函数y＝x2－2x的定义域为｛0，1，2，3｝，那么其值域__________；

（2）下列表示y是x的函数，则函数的值域是________；

点评 本着教学活动、教学目标、测量评估一致性原则，精心选择几道难易适中的典型问题，引导学生尽可能独立地（也可以讨论、交流）思考、分析、探索问题，从中感悟函数概念、基本方法的应用.教师针对学生存在的问题，借题发挥，进行示范性讲解.教师的分析要重联系、重转化、重本质，概括提炼规律，由例及类，教给学生分析问题、解决问题的方法.

4.15 变练演编，巩固深化概念

Ⅰ（1）设集合M＝ ｛x｜0≤x≤2｝，N＝ ｛y｜0≤y≤2｝，则在下面4个图形中，能建立从集合M到集合N的函数的有________；

（2）在（1）中函数的图象与直线x＝a（a∈R）最多有几个交点____________；

（3）在课堂问题1中，炮弹在发射3秒后爆炸，集合A变为C＝｛t｜0≤t≤3｝，其它条件不变，问：h是否还是t的函数？

Ⅱ.试构造一个A到B的函数，且A＝｛x｜－1≤x≤1｝，B＝｛y｜0≤y≤1｝.请同学们自己编一道与本题类似的题目，让同桌解答.

点评 变练是指教师通过对概念、图形背景、题目的条件或结论、题目的形式等进行多角度、全方位的引申，编制形式多样（最好是具有探索性、开放性）的问题，让学生讨论、交流、解答，以加深学生对问题的理解；演编是指学生在对知识、问题有较深的理解的基础上，自己模仿或创造性的编拟数学（变式）题，供全班同学研究或解答.实践证明，编题实践是学生概括能力、创新精神和实践能力得以锻炼和表现的有效措施，也是丰富课堂内容的有效方法.

4.16 反思小结，提炼升华概念

通过本节课的学习，你对函数概念有了那些新认识？还有哪些收获？（知识、思想、观点方面）

点评 回顾在获得函数概念（y＝f（x））的艰难曲折历程中师生所做的概括工作.进一步认识y＝f（x）中x、y代表了现实世界中满足特殊对应关系f的两个变量，譬如里程，时间等，体会概念是简化世界的类目.

4.17 引发问题，做好后续铺垫

师：本节课，我们构建了y＝f（x）这样的函数模型，来刻画描述现实世界中运动事物或变化现象.那么，要了解运动事物或变化现象的规律，就需要研究函数y＝f（x）的什么问题？

众生：变化规律，性质.

师：就是说，要通过研究y＝f（x）的变化规律、性质，来把握事物的变化规律，是我们以后几节课要学习的内容.

点评 函数一节的教学应成为本章各节的教学典范，即从研究方式上看指数函数、对数函数、幂函数与函数一节是是一致的，同样是“现实—数学—现实”的过程.事实上，在后续的学习中，这样的研究过程还会不断地重复下去，而这样的过程的不断重复，就能够使学生掌握研究数学的一般方法：原来数学研究就是这样进行的.［4］

4.18 信息反馈，形成性测试（略）

5 教后反思（略）

1 欧阳锋.数学的艺术［M］.北京：农村读物出版社，1997，51

2 张楚廷.数学教育心理学［M］.北京：警官教育出版社，1998：127

3 D.J.斯特洛伊克.数学简史［M］.北京：科学出版社，1956：75－76.

4 石志群.函数［J］.数学通讯增刊，2009（7）