一个数学模型的应用、变式与拓展

江苏省大丰市第七中学 朱松林 （邮编：224115）

笔者利用假期时间阅读了盐城市2010年～2013年盐城市高中阶段教育招生统一考试数学试题，不难发现，一个数学基本模型犹如一棵常青树，在试卷中连续坚守了四年.命题者为何如此青睐它呢？究竟是什么模型呢？我们先从“三直角型”说起.

1 溯本求源 模型构造

题目 （苏科版《数学》八年级下册第101页例5）如图1，在正方形ABCD中，点M、N分别在AB、BC上，AB＝4，AM＝1，BN＝0.75.

（1）△ADM与 △BMN相似吗？为什么？

（2）求 ∠DMN的度数.

分析 （1）由“AB＝4，AM＝1，BN＝0.75”可以得到AD∶AM＝BM∶BN，又因为∠A＝ ∠B，从而 △ADM与 △BMN相似；

（2）由（1）可求得 ∠DMN＝90°.

观察图1，了解题意，不难发现，如果把问题（2）的结论作为条件，并不需要“AB＝4，AM＝1，BN＝0.75”这一条件，也能得到 △ADM∽△BMN.

为了研究方便，我们把这一基本图形抽象出来，如图2，点A、M、B在同一直线上，当 ∠A＝∠B＝∠DMN＝90°时，则△ADM∽△BMN.由于有三个直角，所以我们把它称为“三直角型”相似，特别地，当这两个三角形中有一组对应边相等时，两个三角形全等，我们称它为“三直角型”全等.

其实，将图2通过平移、旋转等方式变换，可得到图3中的一些图形，不难发现，△ADM与△BAN关系并不发生变化.

2 模型应用 品悟考法

题2 （2010年盐城卷第28题）已知函数y＝ax2＋x＋1的图象与x轴只有一个公共点.

（1）求这个函数关系式；

（2）如图4（1）所示，设y＝ax2＋x＋1图象的顶点为B，与y轴的交点为A，P为图象上的一点，若以线段PB为直径的圆与直线AB相切于点B，求点P的坐标.

（3）在（2）中，若圆与x轴另一交点关于直线PB的对称点为M，试探索点M是否在抛物线y＝ax2＋x＋1上，若在抛物线上，求出M点的坐标；若不在，请说明理由.

思路简析 （1）根据函数y＝ax2＋x＋1的图象与x轴只有一个公共点.可求出函数的解析式为y＝x＋1或y＝x2＋x＋1；

企业实施人力资源管理信息系统，对人力资源管理从业人员计算机应用、软件编程等方面技能水平提出了更高的要求，企业人力资源管理者不仅要具有人力资源方面的专业知识和技能，同时要具有一定的信息技术应用能力。这样才能在应用人力资源管理信息系统的过程中，根据管理要求随时更新相关内容，使整个系统始终可以满足公司管理的需要。

（2）按照题意构造出图形，如图4（2），过点B作PB⊥AB，交二次函数图象于点P，设以PB为直径的圆交x轴于点C.连接PC，则PC⊥x轴，图中出现“三直角型”相似，即△PCB∽△BOA，从而可以求出P点的坐标为（－10，16）；

品悟考法 本题设计注重数形结合思想，学生在其指引下，画出图形，构造出“三直角型”及其变式图形，再运用模型求解.本题主要以能力立意，考查了学生应用数学知识、构造几何模型解决问题的能力.有较好的区分度，体现了选拔功能.

题3 （2011年盐城卷第27题）

情境观察 将矩形ABCD纸片沿对角线AC剪开，得到 △ABC和 △A′C′D，如图5（1）所示.将△A′C′D的顶点A′与点A重合，并绕点A按逆时针方向旋转，使点D、A（A′）、B在同一条直线上，如图5（2）所示.观察图5（2）可知：与BC相等的线段是________，∠CAC′＝________°.

问题探究 如下左图6，△ABC中，AG⊥BC于点G，以A为直角顶点，分别以AB、AC为直角边，向 △ABC外作等腰Rt△ABE和等腰Rt△ACF，过点E、F作射线GA的垂线，垂足分别为P、Q.试探究EP与FQ之间的数量关系，并证明你的结论.

拓展延伸 如上右图7，△ABC中，AG⊥BC于点G，分别以AB、AC为一边向△ABC外作矩形ABME和矩形ACNF，射线GA交EF于点H.若AB＝kAE，AC＝kAF，试探究HE与HF之间的数量关系，并说明理由.

思路简析 （1）先设置“矩形的剪拼”这一情境，学生通过观察，容易得到∠CAC′＝90°.这样很自然地引出“三直角型”全等.即△A′C′D≌△CAB.为后面的解题做好铺垫.

（2）巧妙的情境观察为问题（2）指明了方向，很容易联想到基本图形——“三直角型”全等，可将图6分成两个的基本图形（如图8），分别得到EP＝AG，QF＝AG，从而问题获得解决.

品悟考法 本题设计情境观察、问题探究、拓展延伸三个环节，由浅入深，层层推进，每个问题既有关联，又保持适度的空间，让学生不能轻而易举解决，又不觉得无计可施.试题重点考查学生运用模型解决问题的能力及方法的迁移能力，问题的设计总是落在学生思维的最近发展区，这正是本题成功之处.

题4 （2012年盐城卷第25题）如图10（1）所示，已知A、B为直线l上两点，点C为直线l上方一动点，连接AC、BC，分别以AC、BC为边向△ABC外作正方形CADF和正方形CBEG，过点D作DD1⊥l于点D1，过点E作EE1⊥l于点E1.

（1）如图10（2），当点E恰好在直线l上时（此时E1与E重合），试说明DD1＝AB；

（2）在图10（1）中，当D、E两点都在直线l的上方时，试探求三条线段DD1、EE1、AB之间的数量关系，并说明理由；

（3）如图10（3），当点E在直线l的下方时，请直接写出三条线段DD1、EE1、AB之间的数量关系.（不需要证明）

思路简析 本题以C的运动，带动整个图形的变化，在给出“一般性问题”第（2）问和第（3）问之前，先给出一个可以借鉴的“特殊问题”第（1）问，使得学生对整个问题形成“思维链”，获得解题经验，从而使问题得以解决.（1）借助正方形CADF的边长相等，得到“三直角型”全等；（2）在已有经验的基础上，过C点作直线l的垂线，构造出两组“三直角型”全等，得到DD1＋EE1＝AB；（3）运用同样的思路，构造一组“三直角型”全等和一组公共角型全等，得到DD1＝EE1＋AB.

品悟考法 第（1）小题突出基础知识和基本技能的考查，体现了“过程性目标”中“形成解决问题的一些基本策略，体验解决问题策略的多样性”的要求，能让大多数学生体验成功的喜悦，获得一定的解题经验；在解决第（2）（3）问的过程中，既让同学们用数学的眼光对动态几何中的现象进行观察、分析、比较、猜想、概括，形成学数学、用数学的意识，又为同学们提供了一个自主探索问题的空间，让同学们体验由特殊到一般的数学思想方法.本题既考查了学生的理解创新能力，又考查了学生探究学习的过程，充分渗透了化归思想、变式思想和运动变化的观点.

3 模型拓展 考法评价

在图11中，引用上面的结论，当 ∠A＝∠DMN＝∠B＝90°，两三角形才会相似，那么这个条件是不是必须呢？事实上，经过观察会发现，只要满足∠A＝∠DMN＝∠B＝x（0°＜x＜180°），则△ADM∽△BMN.并不一定要是直角三角形.我们不妨把它称为“三角相等型”相似.当有一组对应边相等时，两三角形就全等了.综上所述，我们可以把这种模型拓展为“三角相等型”.

已知 如图11，点A、M、B在同一直线上，且∠A＝∠DMN＝∠B.

求证△ADM∽△BMN.

（1）求b、c的值；

（2）证明：点C在所求的二次函数的图象上；

（3）如图12（2），过点B作DB⊥x轴交正比例函数y＝x的图象于点D，连结AC，交正比例函数y＝x的图象于点E，连结AD、CD.如果动点P从点A沿线段AD方向以每秒2个单位的速度向点D运动，同时动点Q从点D沿线段DC方向以每秒1个单位的速度向点C运动.当其中一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，连结PQ、QE、PE.设运动时间为t秒，是否存在某一时刻，使PE平分∠APQ，同时QE平分 ∠PQC？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由.

思路简析 （1）略；（2）略；

（3）如图3，由题意易得∠DAC＝∠DCA＝90°－∠ADC，假设PE平分 ∠APQ，同时QE平分∠PQC，可得∠PEQ＝90°－∠ADC，这样便可得到∠DAC＝∠DCA＝∠PEQ，从而构造出“三角相等型”相似，即△APE∽△CEQ.便可得到t的方程，从而使问题获得解决.

考法评价 本题将二次函数的图象与性质、正比例函数的图象与性质、待定系数法、对称、相似三角形的判定与性质、解一元二次方程等知识点有机地结合起来.试题的难点在于第（3）问，图形中线段较多，关系复杂，从图形中找出“三角相等型”相似，从而构造出相等关系是解题关键.主要考查了学生应用数学知识，构造几何模型解决问题的能力.充分渗透了数形结合思想、转化思想和运动变化的观点.有较好的区分度，体现了选拔功能.

4 纵向比较 感受变化

同样的一个数学模型，四年的考法各不相同，呈现出不同的特点.2010年是一道压轴题，试题注重“数形结合”的数学思想方法的渗透，强调建模能力和综合能力的考查，得分率较低，有较好的区分度，充分体现了试题的选拔功能；2011年试题的难度有所降低，问题设计层层深入，过渡自然，由“三角相等型”全等逐步演变为“三角相等型”相似，主要渗透了由特殊到一般的数学思想方法，学生的得分率有所提高；2012年的试题设计以图形的演变为主线，体现探究学习的全过程，主要渗透了“借助特殊解决一般”的思维策略，与2011年的试题有相似之处，都注重对学生“经验的获得”和“已有经验”的应用和迁移能力的考查；2013年的试题设计与前面的三年有所不同，不是将模型渗透于解题的全过程，而是应用模型解决某一个小问题.有效地防止老师猜题、压题，试题将“数形结合思想”、“转化思想”、“运动观点”等有机地结合在一起，学生很难从复杂的图形中提取出模型，很多学生觉得难以下手，得分率很低，有较好的区分度，体现了选拔功能.

上述试题精彩分呈，美不胜收，但它们的源头都是一个数学模型.由此模型衍生出的题目中，蕴含了新课标中许多重要知识和思想方法，同时要求学生具有多方面的综合素养，由此也给学习者、命题者展现了一个深远的空间，更给教学者引发诸多思考.我们的教学应以“引导学生如何学会解决问题”为导向，平时的课堂教学应在富有启发性的情境中开始，让学生在富有探究性的过程中思考，在探究过程中学会主动构建数学模型，在模型应用中获得经验，在拓展中得以提升，那么我们的学生才会在快乐中学习，在学习中获得成功的喜悦.