Abel积分的构造研究

王 冲

(大庆师范学院 数学科学学院，黑龙江 大庆 166400)

0 引言

1900年，著名数学家D.Hilbert 在第二届国际数学家大会上提出了二十三个数学问题[1]，其中第十六个问题的后半部分是：平面n次多项式系统

最多有几个极限环？他们的相对位置如何？这里Pn(x,y),Qn(x,y)是次数不高于n的实系数多项式，x,y是实变量，此问题一直没有解决。

1977年V.I.Arnod提出了弱化的Hilbert问题。给出了一个解决此问题的步骤。考虑平面多项式可积系统的扰动系统

对于此类弱化的Hilbert第16问题，等价于研究Abel积分的零点的个数，我们将利用格林公式把Abel积分转化为二重积分，在转化为定积分，得到Abel积分I(h)的有限生成元表达式，即I(h)=(αh+β)I0(h)+γI2(h)。 Abel积分的构造是此问题的关键，因此有必要加以研究。

1 Abel积分的构造方法

考虑平面多项式可积系统的扰动系统

其中max{degX,degY}≤m,max{degP,degQ}≤n,δ是充分小的参数。假设当δ=0时，系统(1)的积分因子为M(x,y)，具有首次积分为H(x,y)。设Γh为代数曲线H(x,y)=h的闭分支，∑⊂R是Γh存在的最大区间。

对于方程和Γh的表达式,有

最后的结果为

运用此方法来定义Abel积分是一种很有效的方法。

2 对一类可积非Hamilton系统Abel积分的构造

考虑如下的二次扰动系统

(1)

当ε=0时，式(1)为可积非Hamilton系统，积分因子为M(x,y)=x-4，首次积分为

(2)

则系统(1)的Abel积分为：

=αhI-2+βI-3+δI-4+γI-5

其中

即

[参考文献]

[1] 赵育林.三次Hamilton向量场的Abel积分[D].北京:北京大学博士学位论文，1998.

[2] 宋燕.一平面可积三次非Hamilton系统的Abel积分[J].数学进展,2002,31(2)163-168.

[3] 张芷芬.微分方程定性理论[M].北京:科学出版社,1985.

[4] 王冲.抛物线边界二次系统单中心环域的Poincaré分支[J].大庆师范学院学报，2008,28(5)56-60.

[5] D.Iliev, Chengzhi Li，Jiang Yu.Bifurcations of Limit Cycles From Quadratic Non-Hamiltonian Systems with Two Centers and Two Unbounded Heteroclinic Loops[C]. Research Report,2004:36.